Kalkulus Contoh

$\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 4$ dan $g (x) = x^{2} - 5 x - 36$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.4.2

Kalikan $x^{2} - 5 x - 36$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 5 x - 36$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.7

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.9

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.10

Karena $- 36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 36$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.11

Tambahkan $2 x - 5$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.2

Perluas $(- x - 4) (2 x - 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.3.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.3.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.1.3.2

Kurangi $8 x$ dengan $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.2

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 5 x - 36 - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.3

Kurangi $3 x$ dengan $- 5 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 36 + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2.4

Tambahkan $- 36$ dan $20$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1.1

Faktorkan $- 8$ dari $- 8 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3.1.2

Tulis kembali $- 8$ sebagai $- 4$ ditambah $- 4$

$\frac{- x^{2} + (- 4 - 4) x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{(- x^{2} - 4 x) - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{x (- x - 4) + 4 (- x - 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 4$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.1

Faktorkan $x^{2} - 5 x - 36$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 36$ dan jumlahnya $- 5$ .

$- 9, 4$

Langkah 2.1.3.4.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{((x - 9) (x + 4))}^{2}}$

Langkah 2.1.3.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x - 9) (x + 4)$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{(- (x) - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.2

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (4)) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.4

Tulis kembali $- (x + 4)$ sebagai $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.5

Naikkan $x + 4$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} (x + 4))}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.6

Naikkan $x + 4$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1})}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{1 + 1}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 4)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ sebagai ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 9$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 9$ .

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.4.4

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.4.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.4.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.2.4.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.7.1

Kalikan $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ dengan $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

Langkah 2.2.4.7.2

Tambahkan $2 {(x - 9)}^{- 3}$ dan $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.5.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 3.3

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 4

Tidak ada nilai yang ditemukan yang dapat membuat turunan keduanya sama dengan $0$ .

Tidak Ada Titik Belok