Kalkulus Contoh

$12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

Langkah 1

Tulis $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$24 x - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$24 x - 12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$24 x - 12 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.1.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$24 x - 12 (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 2.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 12$ .

$f' (x) = 24 x - 24 \cos (2 x)$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $24 x - 24 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$24 - 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$24 - 24 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.2.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$24 - 24 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$24 - 24 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 24$ .

$f'' (x) = 24 + 48 \sin (2 x)$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $24 + 48 \sin (2 x)$ .

$24 + 48 \sin (2 x)$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $24 + 48 \sin (2 x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$24 + 48 \sin (2 x) = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $24$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$48 \sin (2 x) = - 24$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $48 \sin (2 x) = - 24$ dengan $48$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $48 \sin (2 x) = - 24$ dengan $48$ .

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $\sin (2 x)$ dengan $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 24}{48}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 24$ dan $48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Faktorkan $24$ dari $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 (- 1)}{48}$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Faktorkan $24$ dari $48$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

Langkah 3.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 3.4

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 3.5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Langkah 3.6

Bagi setiap suku pada $2 x = - \frac{π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - \frac{π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Langkah 3.6.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.6.3.2

Kalikan $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.6.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Langkah 3.7

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 3.8

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 3.8.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 3.8.3

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{7 π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{7 π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Langkah 3.8.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Langkah 3.8.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Langkah 3.8.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.8.3.3.2

Kalikan $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.3.2.1

Kalikan $\frac{7 π}{6}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Langkah 3.8.3.3.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Langkah 3.9

Tentukan periode dari $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.9.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 3.9.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.9.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.10

Tambahkan $π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tambahkan $π$ ke $- \frac{π}{12}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{12} + π$

Langkah 3.10.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Langkah 3.10.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Langkah 3.10.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Langkah 3.10.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.4.1

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Langkah 3.10.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Langkah 3.10.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{12}$

Langkah 3.11

Periode dari fungsi $\sin (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{7 π}{12}$ dalam $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{7 π}{12}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 {(\frac{7 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{7 π}{12}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{{(7 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 4.1.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{7^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 4.1.2.1.2

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 4.1.2.1.3

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 4.1.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.1

Faktorkan $12$ dari $144$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 4.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 4.1.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 4.1.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (6)}))$

Langkah 4.1.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}))$

Langkah 4.1.2.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 4.1.2.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.8.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.8.2

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Langkah 4.1.2.1.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

Langkah 4.1.2.1.9

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 6$

Langkah 4.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{49 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{49 π^{2}}{12} + 6$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{7 π}{12}$ dalam $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ adalah $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$

Langkah 4.3

Substitusikan $\frac{11 π}{12}$ dalam $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{11 π}{12}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 {(\frac{11 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{11 π}{12}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{{(11 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 4.3.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{11^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 4.3.2.1.2

Naikkan $11$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 4.3.2.1.3

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 4.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Faktorkan $12$ dari $144$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 4.3.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 4.3.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}))$

Langkah 4.3.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}))$

Langkah 4.3.2.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{11 π}{6})$

Langkah 4.3.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 4.3.2.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.3.2.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.8.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 4.3.2.1.8.2

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Langkah 4.3.2.1.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Langkah 4.3.2.1.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

Langkah 4.3.2.1.9

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 6$

Langkah 4.3.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{121 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{121 π^{2}}{12} + 6$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{11 π}{12}$ dalam $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ adalah $(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}) \cup (\frac{11 π}{12}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.73259571$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (2 (1.73259571))$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $1.73259571$ .

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (3.46519142)$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $24 + 48 \sin (3.46519142)$ .

$24 + 48 \sin (3.46519142)$

Langkah 6.3

Pada $1.73259571$ , turunan keduanya adalah $8.73693112$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ .

Meningkat pada $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.35619449$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (2 (2.35619449))$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $2.35619449$ .

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (4.71238898)$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $24 + 48 \sin (4.71238898)$ .

$24 + 48 \sin (4.71238898)$

Langkah 7.3

Pada $2.35619449$ , turunan kedua adalah $- 24$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$

Menurun pada $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.97979326$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (2 (2.97979326))$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $2$ dengan $2.97979326$ .

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (5.95958653)$

Langkah 8.2.2

Jawaban akhirnya adalah $24 + 48 \sin (5.95958653)$ .

$24 + 48 \sin (5.95958653)$

Langkah 8.3

Pada $2.97979326$ , turunan keduanya adalah $8.73693112$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ .

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Langkah 10