Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{2} x)$ , $(2, \frac{π}{12})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = \frac{π}{12}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{1}{2} x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{2} x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{2} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Langkah 1.3.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Langkah 1.3.2.2

Kalikan $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.3.2.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 1.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ .

$\frac{1}{2 (3 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Langkah 1.3.6

Kalikan $\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 1.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 1.4.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{4}}$

Langkah 1.4.3.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{4}}$

Langkah 1.4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $6 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{4}}$

Langkah 1.4.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2)}}$

Langkah 1.4.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{6 + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.4.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6 + \frac{3 x^{2}}{2}}$

Langkah 1.4.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{\frac{3 x^{2}}{2} + 6}$

Langkah 1.4.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 x^{2}}{2} + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 6}$

Langkah 1.4.5.1.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2}$

Langkah 1.4.5.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \cdot 2$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2)}$

Langkah 1.4.5.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}$

Langkah 1.4.5.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}$

Langkah 1.4.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Langkah 1.4.5.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 4}{2}}$

Langkah 1.4.6

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{2} + 4}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{3 (x^{2} + 4)}{2}}$

Langkah 1.4.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 \frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

Langkah 1.4.8

Kalikan $\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3 (x^{2} + 4)}$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 2$ .

$\frac{2}{3 ({(2)}^{2} + 4)}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{2}{3 (4 + 4)}$

Langkah 1.6.1.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\frac{2}{3 \cdot 8}$

Langkah 1.6.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$\frac{2}{24}$

Langkah 1.6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{24}$

Langkah 1.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Langkah 1.6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Langkah 1.6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{12}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{12}$ dan titik yang diberikan $(2, \frac{π}{12})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{12}) = \frac{1}{12} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{12} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{π}{12} = 0 + 0 + \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{12} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{12}$ dan $x$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 (6)} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{1}{6} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $- 1$ .

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 1}{6}$

Langkah 2.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{12} - \frac{1}{6}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{π}{12}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} + \frac{π}{12}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menuliskan $- \frac{1}{6}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{12}$

Langkah 2.3.3.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{12}$

Langkah 2.3.3.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$y = \frac{x}{12} - \frac{2}{12} + \frac{π}{12}$

Langkah 2.3.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 2 + π}{12}$

Langkah 2.3.3.4

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) + π}{12}$

Langkah 2.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $π$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{12}$

Langkah 2.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{12} + \frac{- 1 (2 - π)}{12}$

Langkah 2.3.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{x}{12} - \frac{2 - π}{12}$

Langkah 2.3.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{12} x - \frac{2 - π}{12}$

Langkah 3