Kalkulus Contoh

$\log_{5} (1 + x^{2})$

Langkah 1

Tulis $\log_{5} (1 + x^{2})$ sebagai fungsi.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \log_{5} (x)$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.1.1.2

Turunan dari $\log_{5} (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

Langkah 2.1.2.5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

Langkah 2.1.2.5.2

Gabungkan $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan $\ln (5)$ dengan $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Langkah 2.1.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $\ln (5)$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 6.2.2.3

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Langkah 6.2.2.4

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (25)}$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali $\ln (25)$ sebagai $\ln (5^{2})$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5^{2})}$

Langkah 6.2.4

Perluas $\ln (5^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (5)}$

Langkah 6.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Langkah 6.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \ln (5)$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (5))}$

Langkah 6.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Langkah 6.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (5)}$

Langkah 6.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (5)}$

Langkah 6.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{\ln (5)}$ .

$- \frac{1}{\ln (5)}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- \frac{1}{\ln (5)}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $\ln (5)$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 7.2.2.3

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Langkah 7.2.2.4

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (25)}$

Langkah 7.2.3

Tulis kembali $\ln (25)$ sebagai $\ln (5^{2})$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5^{2})}$

Langkah 7.2.4

Perluas $\ln (5^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Langkah 7.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Langkah 7.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (1) = \frac{1}{\ln (5)}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{\ln (5)}$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $\frac{1}{\ln (5)}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 9