Kalkulus Contoh

$6 \cos^{4} (x)$

Langkah 1

Tulis $6 \cos^{4} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 6 \cos^{4} (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 \cos^{4} (x)$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$f' (x) = 6 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.1.3

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$f' (x) = 24 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.1.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 24 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Langkah 2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $24$ .

$f' (x) = - 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Langkah 3.3

Atur $\cos^{3} (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $\cos^{3} (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Langkah 3.3.2

Selesaikan $\cos^{3} (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 3.3.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$\cos (x) = 0$

Langkah 3.3.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 3.3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 3.3.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 3.3.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.3.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.3.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 3.3.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.6.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 3.3.2.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 3.3.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.3.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.3.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.3.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.3.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.4

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.4.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 3.4.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 3.4.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.4.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.4.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.6

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = 6 \cos^{4} (x)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π n}{2})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π n}{2} - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Langkah 6.4

Pada $x = \frac{π n}{2} - 1$ , turunannya adalah $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Menurun pada $(- \infty, \frac{π n}{2})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π n}{2}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π n}{2} + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Langkah 7.4

Pada $x = \frac{π n}{2} + 1$ , turunannya adalah $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{π n}{2}, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Langkah 9