Kalkulus Contoh

$(x - 2) e^{x}$

Langkah 1

Tulis $(x - 2) e^{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = (x - 2) e^{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x - 2$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Langkah 2.1.3.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Langkah 2.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Langkah 2.1.3.4.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$x e^{x} - 2 e^{x} + e^{x}$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $- 2 e^{x}$ dan $e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x}$

Langkah 2.1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$e^{x} x - e^{x}$

Langkah 2.1.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x - e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} - e^{x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x e^{x} - e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x e^{x} - e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x e^{x} - e^{x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x} - e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x}$ .

$e^{x} x - e^{x} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $- e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ .

$e^{x} (x - 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x} (x - 1) = 0$ benar.

$x = 1$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = x e^{x} - e^{x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = (x - 2) e^{x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} - e^{0}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 - e^{0}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f' (0) = 0 - e^{0}$

Langkah 6.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Langkah 6.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 1$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $- 1$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = (2) \cdot e^{2} - e^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $e^{2}$ .

$f' (2) = 2 e^{2} - e^{2}$

Langkah 7.2.2

Kurangi $e^{2}$ dengan $2 e^{2}$ .

$f' (2) = e^{2}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $e^{2}$ .

$e^{2}$

Langkah 7.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $e^{2}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(1, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 1)$

Langkah 9