Kalkulus Contoh

$\frac{4 t}{t^{2} + 1}$

Langkah 1

Tulis $\frac{4 t}{t^{2} + 1}$ sebagai fungsi.

$f (t) = \frac{4 t}{t^{2} + 1}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{4 t}{t^{2} + 1}$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t$ dan $g (t) = t^{2} + 1$ .

$4 \frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan $t^{2} + 1$ dengan $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.4

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.5

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.8

Kurangi $2 t^{2}$ dengan $t^{2}$ .

$4 \frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- t^{2} + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 (- t^{2}) + 4 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 t^{2} + 4 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.10.2.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (t) = \frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{- 4 t^{2} + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$- 4 t^{2} + 4 = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 t^{2} = - 4$

Langkah 3.3.2

Bagi setiap suku pada $- 4 t^{2} = - 4$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 t^{2} = - 4$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 t^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 t^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Bagilah $t^{2}$ dengan $1$ .

$t^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 4$ .

$t^{2} = 1$

Langkah 3.3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$t = \pm \sqrt{1}$

Langkah 3.3.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$t = \pm 1$

Langkah 3.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$t = 1$

Langkah 3.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$t = - 1$

Langkah 3.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$t = 1, - 1$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $1, - 1$ .

$1, - 1$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $t$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $t$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{2} + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4 + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 16 + 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.3

Tambahkan $- 16$ dan $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{{(4 + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{5^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 12}{25}$

Langkah 6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{12}{25}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{12}{25}$ .

$- \frac{12}{25}$

Langkah 6.3

Pada $t = - 2$ , turunannya adalah $- \frac{12}{25}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (t) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $t$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = \frac{- 4 {(0)}^{2} + 4}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4 \cdot 0 + 4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$f' (0) = \frac{4}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = \frac{4}{{(0 + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (0) = \frac{4}{1^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (0) = \frac{4}{1}$

Langkah 7.2.3

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$f' (0) = 4$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$4$

Langkah 7.3

Pada $t = 0$ , turunannya adalah $4$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1, 1)$ .

Meningkat pada $(- 1, 1)$ karena $f' (t) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $t$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{2} + 4}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = \frac{- 4 \cdot 4 + 4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$f' (2) = \frac{- 16 + 4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.3

Tambahkan $- 16$ dan $4$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{{(4 + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{5^{2}}$

Langkah 8.2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = \frac{- 12}{25}$

Langkah 8.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (2) = - \frac{12}{25}$

Langkah 8.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{12}{25}$ .

$- \frac{12}{25}$

Langkah 8.3

Pada $t = 2$ , turunannya adalah $- \frac{12}{25}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(1, \infty)$ .

Menurun pada $(1, \infty)$ karena $f' (t) < 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 1, 1)$

Menurun pada: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Langkah 10