Kalkulus Contoh

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Tulis $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.1.1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.1.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Langkah 2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.1.1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Langkah 2.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 2.1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.6

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.1.2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Langkah 2.1.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Langkah 5.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Langkah 5.2.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Langkah 5.2.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Langkah 5.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Langkah 5.2.1.7

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.8

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$f'' (0) = - 2 - 2$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (0) = - 4$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$- 4$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, \infty)$ karena $f'' (0)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6