Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.1.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.3.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\tan (0)}$

Langkah 1.3.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{2 x} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $2 e^{2 x}$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Langkah 3.6

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Langkah 6

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$2 \frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Langkah 7

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Langkah 8

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (0)}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$2 \frac{e^{0}}{\sec^{2} (0)}$

Langkah 11.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Langkah 11.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$2 \frac{1}{1^{2}}$

Langkah 11.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 (\frac{1}{1})$

Langkah 11.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{1}{1})$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \cdot 1$

Langkah 11.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$