Kalkulus Contoh

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{t} + t^{2}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan untuk merasionalkan pembilangnya.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{(\sqrt{t} + t^{2}) (\sqrt{t} - t^{2})}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Perluas pembilangnya menggunakan metode FOIL.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{\sqrt{t}}^{2} + \sqrt{t} (- t^{2}) + \sqrt{t} t^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Tulis kembali ${\sqrt{t}}^{2}$ sebagai $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t}$ sebagai $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{1}{2} \cdot 2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.2.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.2.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{1} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.2.2.1.5

Sederhanakan.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.2.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - 1 \cdot t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.2.2.3

Tulis kembali $- 1 t^{4}$ sebagai $- t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.3

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $t$ dalam penyebut, yaitu $t^{2} = \sqrt{t^{4}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $t$ dan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{1}}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.1.1.2

Faktorkan $t$ dari $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1.3.1

Faktorkan $t$ dari $t^{2}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.1.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $t^{4}$ dan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.2.1

Faktorkan $t^{2}$ dari $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2}}{1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.1.2.2.4

Bagilah $t^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan setiap suku.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $t$ dan $t^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.3.2

Faktorkan $t$ dari $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.3.1

Faktorkan $t$ dari $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.4.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.5

Ketika $t$ mendekati $\infty$ , pecahan $\frac{1}{t}$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.6

Ketika $t$ mendekati $\infty$ , pecahan $\frac{1}{t^{3}}$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.2.7

Karena pembilangnya tidak terbatas sedangkan penyebutnya mendekati bilangan konstan, pecahan $\frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}$ mendekati tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} 9 t - t^{2}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Susun kembali $9 t$ dan $- t^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} - t^{2} + 9 t}$

Langkah 1.3.2

Limit tak hingga dari Polinomial yang koefisien pertamanya negatif adalah tak hingga negatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 1.3.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{- \infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{- \infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{9 t - t^{2}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{t} + t^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t}$ sebagai $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.5.3

Susun kembali suku-suku.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t - t^{2}]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 t - t^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d t} [9 t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $9$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $9 t$ terhadap $t$ adalah $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Langkah 3.7.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t^{2}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - \frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - (2 t)}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{9 - 2 t}$

Langkah 3.9

Susun kembali suku-suku.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{- 2 t + 9}$

Langkah 4

Tulis kembali $t^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

Langkah 5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menuliskan $2 t$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t \cdot \frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

Langkah 5.2

Gabungkan $2 t$ dan $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t})}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$

Langkah 5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t}) + 1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 9}$