Kalkulus Contoh

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 10 x - 1}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Langkah 1.2

Limit ketika tak hingga negatif dari polinomial derajat genap yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Langkah 1.3

Limit ketika tak hingga negatif dari polinomial derajat genap yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} + 10 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.6

Tambahkan $18 x + 10$ dan $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x^{2} - 5 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Langkah 3.9

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \cdot 1}$

Langkah 3.9.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5}$

Langkah 4

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Langkah 5.1.2

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $16$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 + \frac{- 5}{x}}$

Langkah 5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 - \frac{5}{x}}$

Langkah 5.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Langkah 5.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Langkah 5.5

Evaluasi limit dari $18$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Langkah 5.6

Pindahkan suku $10$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{18 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Langkah 6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Langkah 7.2

Evaluasi limit dari $16$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Langkah 7.3

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 8

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 \cdot 0}$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Hapus faktor persekutuan dari $18 + 10 \cdot 0$ dan $16 - 5 \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali $16$ sebagai $- 1 (- 16)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - 5 \cdot 0}$

Langkah 9.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)}$

Langkah 9.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 5 \cdot 0)}$

Langkah 9.1.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Langkah 9.1.5

Faktorkan $2$ dari $18$ .

$\frac{2 (9) + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Langkah 9.1.6

Faktorkan $2$ dari $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (9) + 2 (5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Langkah 9.1.7

Faktorkan $2$ dari $2 (9) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Langkah 9.1.8

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.8.1

Faktorkan $2$ dari $- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Langkah 9.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Langkah 9.1.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 + 5 \cdot 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Langkah 9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{9 + 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Langkah 9.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $0$ dengan $5$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0)}$

Langkah 9.3.2

Tambahkan $- 8$ dan $0$ .

$\frac{9}{- 1 \cdot - 8}$

Langkah 9.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$\frac{9}{8}$