Kalkulus Contoh

$\frac{1}{x^{2} + x^{4}}$

Langkah 1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} + x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{4}}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot (1 + x^{2})}$

Langkah 1.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (1 + x^{2})}$

Langkah 1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x^{2} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.1.2

Bagilah $A (1 + x^{2})$ dengan $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1

Faktorkan $x$ dari $B (x^{2} (1 + x^{2}))$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x (1 + x^{2}))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.4.2.5

Bagilah $B (x (1 + x^{2}))$ dengan $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x (1 + x^{2})) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.5

Terapkan sifat distributif.

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.6

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.7

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.7.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.7.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.7.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{1 + 2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.7.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{3}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.8

Terapkan sifat distributif.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.9

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6.9.2

Bagilah $(C x + D) (x^{2})$ dengan $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + (C x + D) (x^{2})$

Langkah 1.6.10

Terapkan sifat distributif.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Langkah 1.6.11

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.11.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Langkah 1.6.11.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.11.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Langkah 1.6.11.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Langkah 1.6.11.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Langkah 1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Susun kembali $B$ dan $x^{3}$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Langkah 1.7.2

Pindahkan $A$ .

$1 = A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + A$

Langkah 1.7.3

Pindahkan $B x$ .

$1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + B x + A$

Langkah 1.7.4

Pindahkan $A x^{2}$ .

$1 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + B x + A$

Langkah 2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{3}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = B + C$

Langkah 2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + D$

Langkah 2.3

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = B$

Langkah 2.4

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 2.5

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

Langkah 3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $B = 0$ .

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$1 = A$

Langkah 3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $0$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $0 = B + C$ dengan $0$ .

$0 = (0) + C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Langkah 3.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = 0$ .

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = A + D$

Langkah 3.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A + D$ dengan $1$ .

$0 = (1) + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Langkah 3.4

Selesaikan $D$ dalam $0 = 1 + D$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + D = 0$ .

$1 + D = 0$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Langkah 3.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Langkah 3.5

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$D = - 1 C = 0 A = 1 B = 0$

Langkah 3.6

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$D = - 1, C = 0, A = 1, B = 0$

Langkah 4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , $C$ , dan $D$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 x - 1}{1 + x^{2}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 - 1}{1 + x^{2}}$

Langkah 5.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- 1}{1 + x^{2}}$