Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$6 x - 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$6 x - 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$6 x - 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$6 x - 3 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 3 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x - 3 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$6 x - 3 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 1.1.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$6 x - 3 (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 1.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \cos (2 x)$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x - 6 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$6 - 6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$6 - 6 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$6 - 6 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$6 - 6 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 6 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 - 6 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 1.2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$6 - 6 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 1.2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$6 - 6 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 1.2.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 6$ .

$f'' (x) = 6 + 12 \sin (2 x)$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 + 12 \sin (2 x)$ .

$6 + 12 \sin (2 x)$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 + 12 \sin (2 x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$6 + 12 \sin (2 x) = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$12 \sin (2 x) = - 6$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $12 \sin (2 x) = - 6$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $12 \sin (2 x) = - 6$ dengan $12$ .

$\frac{12 \sin (2 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 \sin (2 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $\sin (2 x)$ dengan $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 6}{12}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Faktorkan $6$ dari $- 6$ .

$\sin (2 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Langkah 2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$\sin (2 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (2 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.4

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 2.5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Langkah 2.6

Bagi setiap suku pada $2 x = - \frac{π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - \frac{π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Langkah 2.6.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Langkah 2.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 2.6.3.2

Kalikan $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Langkah 2.6.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Langkah 2.7

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 2.8

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 2.8.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 2.8.3

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{7 π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{7 π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Langkah 2.8.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Langkah 2.8.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Langkah 2.8.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 2.8.3.3.2

Kalikan $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.3.2.1

Kalikan $\frac{7 π}{6}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Langkah 2.8.3.3.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Langkah 2.9

Tentukan periode dari $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.9.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 2.9.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 2.9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 2.9.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.10

Tambahkan $π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Tambahkan $π$ ke $- \frac{π}{12}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{12} + π$

Langkah 2.10.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Langkah 2.10.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Langkah 2.10.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Langkah 2.10.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.4.1

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Langkah 2.10.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Langkah 2.10.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{12}$

Langkah 2.11

Periode dari fungsi $\sin (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\frac{7 π}{12}$ dalam $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{7 π}{12}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 {(\frac{7 π}{12})}^{2} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{7 π}{12}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{{(7 π)}^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 3.1.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{7^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 3.1.2.1.2

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 3.1.2.1.3

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{144}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 3.1.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $144$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{3 (48)}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 3.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{3 \cdot 48}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 3.1.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Langkah 3.1.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (6)}))$

Langkah 3.1.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}))$

Langkah 3.1.2.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 3.1.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 3.1.2.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 (- \frac{1}{2})$

Langkah 3.1.2.1.8

Kalikan $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} + 3 (\frac{1}{2})$

Langkah 3.1.2.1.8.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

Langkah 3.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$ .

$\frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{7 π}{12}$ dalam $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ adalah $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

Langkah 3.3

Substitusikan $\frac{11 π}{12}$ dalam $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{11 π}{12}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 {(\frac{11 π}{12})}^{2} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{11 π}{12}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{{(11 π)}^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{11^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $11$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 3.3.2.1.3

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{144}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 3.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $144$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{3 (48)}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 3.3.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{3 \cdot 48}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 3.3.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Langkah 3.3.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}))$

Langkah 3.3.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}))$

Langkah 3.3.2.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

Langkah 3.3.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 3.3.2.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 (- \frac{1}{2})$

Langkah 3.3.2.1.8

Kalikan $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} + 3 (\frac{1}{2})$

Langkah 3.3.2.1.8.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

Langkah 3.3.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$ .

$\frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{11 π}{12}$ dalam $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ adalah $(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}) \cup (\frac{11 π}{12}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.73259571$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.73259571) = 6 + 12 \sin (2 (1.73259571))$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $2$ dengan $1.73259571$ .

$f'' (1.73259571) = 6 + 12 \sin (3.46519142)$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $6 + 12 \sin (3.46519142)$ .

$6 + 12 \sin (3.46519142)$

Langkah 5.3

Pada $1.73259571$ , turunan keduanya adalah $2.18423278$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ .

Meningkat pada $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.35619449$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.35619449) = 6 + 12 \sin (2 (2.35619449))$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $2.35619449$ .

$f'' (2.35619449) = 6 + 12 \sin (4.71238898)$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $6 + 12 \sin (4.71238898)$ .

$6 + 12 \sin (4.71238898)$

Langkah 6.3

Pada $2.35619449$ , turunan kedua adalah $- 6$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$

Menurun pada $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.97979326$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.97979326) = 6 + 12 \sin (2 (2.97979326))$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $2.97979326$ .

$f'' (2.97979326) = 6 + 12 \sin (5.95958653)$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $6 + 12 \sin (5.95958653)$ .

$6 + 12 \sin (5.95958653)$

Langkah 7.3

Pada $2.97979326$ , turunan keduanya adalah $2.18423278$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$ .

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

Langkah 9