Kalkulus Contoh

$y = 2 - 2 x^{2}$ , $y = 0$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = - 2 x^{2} + 2$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(- 2 x^{2} + 2)}^{2}$ sebagai $(- 2 x^{2} + 2) (- 2 x^{2} + 2)$ .

$V = (- 2 x^{2} + 2) (- 2 x^{2} + 2)$

Langkah 2.2

Perluas $(- 2 x^{2} + 2) (- 2 x^{2} + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = - 2 x^{2} (- 2 x^{2} + 2) + 2 (- 2 x^{2} + 2)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = - 2 x^{2} (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2} + 2)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = - 2 x^{2} (- 2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = - 2 \cdot (- 2 x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$V = - 2 \cdot (- 2 (x^{2} x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = - 2 \cdot (- 2 x^{2 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$V = - 2 \cdot (- 2 x^{4}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$V = 4 x^{4} - 2 x^{2} \cdot 2 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$V = 4 x^{4} - 4 x^{2} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$V = 4 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = 4 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4$

Langkah 2.3.2

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $- 4 x^{2}$ .

$V = 4 x^{4} - 8 x^{2} + 4$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{- 1}^{1} 4 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 8 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Langkah 4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$V = π (4 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 8 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 8 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 8 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Langkah 7

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 8$ keluar dari integral.

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 8 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1})$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\frac{x^{5}}{5}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$V = π (4 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1})$

Langkah 11.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$V = π (4 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 1}^{1})$

Langkah 11.3

Evaluasi $4 x$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$V = π (4 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (4 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (4 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (4 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.5

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$V = π (4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (4 (\frac{1 + 1}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$V = π (4 (\frac{2}{5}) - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.8

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{5}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 2}{5} - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.9

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.11

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.13

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.14

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{8}{5} - 8 \frac{1 + 1}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.16

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$V = π (\frac{8}{5} - 8 (\frac{2}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.17

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{8}{5} + \frac{- 8 \cdot 2}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.18

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{8}{5} + \frac{- 16}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.19

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{8}{5} - \frac{16}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.20

Untuk menuliskan $\frac{8}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.21

Untuk menuliskan $- \frac{16}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.22

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.22.1

Kalikan $\frac{8}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.22.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 3}{15} - \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.22.3

Kalikan $\frac{16}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.22.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{8 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.23

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{8 \cdot 3 - 16 \cdot 5}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.24

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.24.1

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{24 - 16 \cdot 5}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.24.2

Kalikan $- 16$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{24 - 80}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.24.3

Kurangi $80$ dengan $24$ .

$V = π (\frac{- 56}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.25

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (- \frac{56}{15} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.26

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + 4 - 4 \cdot - 1)$

Langkah 11.4.27

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + 4 + 4)$

Langkah 11.4.28

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + 8)$

Langkah 11.4.29

Untuk menuliskan $8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + 8 \cdot \frac{15}{15})$

Langkah 11.4.30

Gabungkan $8$ dan $\frac{15}{15}$ .

$V = π (- \frac{56}{15} + \frac{8 \cdot 15}{15})$

Langkah 11.4.31

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{- 56 + 8 \cdot 15}{15})$

Langkah 11.4.32

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.32.1

Kalikan $8$ dengan $15$ .

$V = π (\frac{- 56 + 120}{15})$

Langkah 11.4.32.2

Tambahkan $- 56$ dan $120$ .

$V = π (\frac{64}{15})$

Langkah 11.4.33

Gabungkan $π$ dan $\frac{64}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 64}{15}$

Langkah 11.4.34

Pindahkan $64$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{64 π}{15}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{64 π}{15}$

Bentuk Desimal:

$V = 13.40412865 \dots$

Langkah 13