Kalkulus Contoh

$y = \arctan (\frac{1}{4} x)$ ; $(4, \frac{π}{4})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = \frac{π}{4}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = \frac{1}{4} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1}{4} x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1}{4} x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{4} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x]$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Langkah 1.2.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.4

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \cdot 1$

Langkah 1.2.6

Kalikan $\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})}$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

Langkah 1.3.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

Langkah 1.3.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}}$

Langkah 1.3.3.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}}$

Langkah 1.3.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}}$

Langkah 1.3.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}}$

Langkah 1.3.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}}$

Langkah 1.3.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

Langkah 1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 4}$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 1.3.5.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}}$

Langkah 1.3.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4 \cdot 4}{4}}$

Langkah 1.3.5.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 16}{4}}$

Langkah 1.3.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 \frac{4}{x^{2} + 16}$

Langkah 1.3.7

Kalikan $\frac{4}{x^{2} + 16}$ dengan $1$ .

$\frac{4}{x^{2} + 16}$

Langkah 1.4

Evaluasi turunan pada $x = 4$ .

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 16}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4}{16 + 16}$

Langkah 1.5.1.2

Tambahkan $16$ dan $16$ .

$\frac{4}{32}$

Langkah 1.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 (1)}{32}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $32$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 8}$

Langkah 1.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{8}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{8}$ dan titik yang diberikan $(4, \frac{π}{4})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $x$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{π}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.3.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{8} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{x}{8} - \frac{2}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.3.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 2 + π}{4}$

Langkah 2.3.3.4

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2) + π}{4}$

Langkah 2.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $π$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{4}$

Langkah 2.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 (2 - π)}{4}$

Langkah 2.3.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{x}{8} - \frac{2 - π}{4}$

Langkah 2.3.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{8} x - \frac{2 - π}{4}$

Langkah 3