Kalkulus Contoh

$\cos (4 y) = x$ , $(0, \frac{π}{8})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = \frac{π}{8}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\cos (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 y$ .

$- \sin (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 \sin (4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 4 \sin (4 y) y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 4 \sin (4 y) y' = 1$

Langkah 1.5

Bagi setiap suku pada $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ dengan $- 4 \sin (4 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ dengan $- 4 \sin (4 y)$ .

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Langkah 1.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (4 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Langkah 1.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Pisahkan pecahan.

$y' = \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{\sin (4 y)}$

Langkah 1.5.3.2

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (4 y)}$ ke $\csc (4 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 4} \csc (4 y)$

Langkah 1.5.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1}{4} \csc (4 y)$

Langkah 1.5.3.4

Gabungkan $\csc (4 y)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 0$ dan $y = \frac{π}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{\csc (4 y)}{4}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $\frac{π}{8}$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{\csc (4 (\frac{π}{8}))}{4}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 (2)})}{4}$

Langkah 1.7.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2})}{4}$

Langkah 1.7.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\csc (\frac{π}{2})}{4}$

Langkah 1.7.3.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{1}{4}$ dan titik yang diberikan $(0, \frac{π}{8})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{8}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot x$

Langkah 2.3.1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{x}{4}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{π}{8}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{π}{8}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{π}{8}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{π}{8}$

Langkah 3