Kalkulus Contoh

$f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${t | t \in ℝ}$

Langkah 2

$f (t)$ kontinu di $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (t)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (t)} \cos (t) d t)$

Langkah 5

Biarkan $u = \sin (t)$ . Kemudian $d u = \cos (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = \sin (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Langkah 5.1.2

Turunan dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Langkah 5.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 5.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

Langkah 6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

Langkah 7.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

Langkah 7.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

Langkah 8

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

Langkah 8.2

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

Langkah 9

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$A (t) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

Langkah 10

Kalikan $\frac{2}{π}$ dengan $1$ .

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

Langkah 11

Terapkan sifat distributif.

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{2}{π}$ dan $e$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Langkah 13

Kalikan $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{2}{π}$ dan $- 1$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

Langkah 13.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

Langkah 14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (t) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

Langkah 15