Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ ; $[1, 8]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[1, 8]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ pada $8$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.6

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $48$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.7.1

Faktorkan $4$ dari $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.7.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.7.2.4

Bagilah $12$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Langkah 7.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4})$

Langkah 7.2.10

Untuk menuliskan $12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Langkah 7.2.11

Gabungkan $12$ dan $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Langkah 7.2.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4 - 3}{4})$

Langkah 7.2.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.13.1

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48 - 3}{4})$

Langkah 7.2.13.2

Kurangi $3$ dengan $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{45}{4})$

Langkah 8

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Langkah 9

Kalikan $\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $\frac{45}{4}$ .

$A (x) = \frac{45}{7 \cdot 4}$

Langkah 9.2

Kalikan $7$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{45}{28}$

Langkah 10