Kalkulus Contoh

$\tan^{3} (θ)$

Langkah 1

Tulis $\tan^{3} (θ)$ sebagai fungsi.

$f (θ) = \tan^{3} (θ)$

Langkah 2

Fungsi $F (θ)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (θ) = \int \tan^{3} (θ) d θ$

Langkah 4

Faktorkan $\tan^{2} (θ)$ .

$\int \tan^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Langkah 5

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (θ)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (θ)) \tan (θ) d θ$

Langkah 6

Terapkan sifat distributif.

$\int - 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Langkah 9

Integral dari $\tan (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Langkah 10

Biarkan $u = \sec (θ)$ . Kemudian $d u = \sec (θ) \tan (θ) d θ$ sehingga $\frac{1}{\sec (θ) \tan (θ)} d u = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = \sec (θ)$ . Tentukan $\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $\sec (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Langkah 10.1.2

Turunan dari $\sec (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ)$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int u d u$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (θ)$ .

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (θ) = \tan^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$