Kalkulus Contoh

$\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 4.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 4.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 4.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 4.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 4.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Kemudian $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ sehingga $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 5.1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 5.1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 5.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 5.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 5.1.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 5.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 5.1.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 5.1.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Langkah 6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Langkah 7

Karena $- 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$- 2 \int e^{u} d u$

Langkah 8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

$- 2 e^{u} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 11

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$