Kalkulus Contoh

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Langkah 1

Tulis $x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positif.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5

Sederhanakan $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Langkah 5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 6

Kalikan $\sec (t)$ dengan $\sec^{2} (t)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan $\sec^{2} (t)$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Langkah 6.2

Kalikan $\sec^{2} (t)$ dengan $\sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Langkah 6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Langkah 6.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Langkah 7

Faktorkan $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Langkah 8

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Langkah 9

Biarkan $u = \sec (t)$ . Kemudian $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = \sec (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Langkah 9.1.2

Turunan dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 10

Kalikan $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis kembali $- 1 u^{2}$ sebagai $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Langkah 11.2

Kalikan $u^{2}$ dengan $u^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Langkah 12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Langkah 13

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Langkah 15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Langkah 16.2

Sederhanakan.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Langkah 17

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (t)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t) + C$

Langkah 17.2

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$