Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.1.4.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$2 (1 + \ln (x))$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x)$

Langkah 1.1.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2 \ln (x)$

Langkah 1.1.5.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 \ln (x) + 2$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \ln (x) + 2$ .

$2 \ln (x) + 2$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 \ln (x) + 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 \ln (x) + 2 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \ln (x) = - 2$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 \ln (x) = - 2$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 \ln (x) = - 2$ dengan $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$\ln (x) = - 1$

Langkah 2.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\ln (x) = - 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Langkah 2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Langkah 2.6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 3.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 4

Evaluasi $2 x \ln (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{1}{e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{1}{e}$ untuk $x$ .

$2 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e} \ln (\frac{1}{e})$

Langkah 4.1.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{e}$ sebagai $1 e^{- 1}$ .

$\frac{2}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Langkah 4.1.2.3

Tulis kembali $\ln (1 e^{- 1})$ sebagai $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Langkah 4.1.2.4

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $- 1$ keluar dari eksponen.

$\frac{2}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Langkah 4.1.2.5

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1)$

Langkah 4.1.2.7

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{2}{e} (0 - 1)$

Langkah 4.1.2.8

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{2}{e} \cdot - 1$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $\frac{2}{e} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.9.1

Gabungkan $\frac{2}{e}$ dan $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e}$

Langkah 4.1.2.9.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2}{e}$

Langkah 4.1.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{e}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$2 (0) \ln (0)$

Langkah 4.2.2

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{1}{e}, - \frac{2}{e})$

Langkah 5