Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 8$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.2.5.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.3.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.3.4

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $x$ .

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.3.5.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x^{2} + x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} + x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$x^{2} + x - 2 + \frac{d}{d x} [8]$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} + x - 2 + 0$

Langkah 1.1.5.2

Tambahkan $x^{2} + x - 2$ dan $0$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} + x - 2$ .

$x^{2} + x - 2$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} + x - 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{2} + x - 2 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $x^{2} + x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $1$ .

$- 1, 2$

Langkah 2.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (x + 2) = 0$ benar.

$x = 1, - 2$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 8$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{{(1)}^{3}}{3} + \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 + 8$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{3} + \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 + 8$

Langkah 4.1.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 + 8$

Langkah 4.1.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 + 8$

Langkah 4.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} - 2 + 8$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 2 + 8$

Langkah 4.1.2.2.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 + 8$

Langkah 4.1.2.2.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} - 2 + 8$

Langkah 4.1.2.2.5

Tulis $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2}{1} + 8$

Langkah 4.1.2.2.6

Kalikan $\frac{- 2}{1}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{6}{6} + 8$

Langkah 4.1.2.2.7

Kalikan $\frac{- 2}{1}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + 8$

Langkah 4.1.2.2.8

Tulis $8$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8}{1}$

Langkah 4.1.2.2.9

Kalikan $\frac{8}{1}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Langkah 4.1.2.2.10

Kalikan $\frac{8}{1}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

Langkah 4.1.2.2.11

Susun kembali faktor-faktor dari $3 \cdot 2$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

Langkah 4.1.2.2.12

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

Langkah 4.1.2.2.13

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{8 \cdot 6}{6}$

Langkah 4.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 + 3 - 2 \cdot 6 + 8 \cdot 6}{6}$

Langkah 4.1.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $6$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 8 \cdot 6}{6}$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $8$ dengan $6$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 48}{6}$

Langkah 4.1.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.1

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{5 - 12 + 48}{6}$

Langkah 4.1.2.5.2

Kurangi $12$ dengan $5$ .

$\frac{- 7 + 48}{6}$

Langkah 4.1.2.5.3

Tambahkan $- 7$ dan $48$ .

$\frac{41}{6}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{8}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari ${(- 2)}^{2}$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 1 (2)$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.3.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1 \cdot 2^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.3.4

Kalikan $2^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2^{2}}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.3.5

Faktorkan $2$ dari $2^{2}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.3.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{8}{3} + \frac{2}{1} - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.3.6.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$- \frac{8}{3} + 2 - 2 \cdot - 2 + 8$

Langkah 4.2.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$- \frac{8}{3} + 2 + 4 + 8$

Langkah 4.2.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Tulis $2$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2}{1} + 4 + 8$

Langkah 4.2.2.2.2

Kalikan $\frac{2}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4 + 8$

Langkah 4.2.2.2.3

Kalikan $\frac{2}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + 4 + 8$

Langkah 4.2.2.2.4

Tulis $4$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} + 8$

Langkah 4.2.2.2.5

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 8$

Langkah 4.2.2.2.6

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 8$

Langkah 4.2.2.2.7

Tulis $8$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1}$

Langkah 4.2.2.2.8

Kalikan $\frac{8}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 4.2.2.2.9

Kalikan $\frac{8}{1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{- 8 + 6 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.2.2.4.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{- 8 + 6 + 12 + 8 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.2.2.4.3

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$\frac{- 8 + 6 + 12 + 24}{3}$

Langkah 4.2.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.5.1

Tambahkan $- 8$ dan $6$ .

$\frac{- 2 + 12 + 24}{3}$

Langkah 4.2.2.5.2

Tambahkan $- 2$ dan $12$ .

$\frac{10 + 24}{3}$

Langkah 4.2.2.5.3

Tambahkan $10$ dan $24$ .

$\frac{34}{3}$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, \frac{41}{6}), (- 2, \frac{34}{3})$

Langkah 5