Kalkulus Contoh

$y = x \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $1 + \ln (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\ln (x) = - 1$

Langkah 2.3

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\ln (x) = - 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Langkah 2.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 3.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 4

Evaluasi $x \ln (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{1}{e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{1}{e}$ untuk $x$ .

$(\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{e}$ sebagai $1 e^{- 1}$ .

$\frac{1}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Langkah 4.1.2.2

Tulis kembali $\ln (1 e^{- 1})$ sebagai $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Langkah 4.1.2.3

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $- 1$ keluar dari eksponen.

$\frac{1}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Langkah 4.1.2.4

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e} (\ln (1) - 1)$

Langkah 4.1.2.6

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{1}{e} (0 - 1)$

Langkah 4.1.2.7

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{e} \cdot - 1$

Langkah 4.1.2.8

Gabungkan $\frac{1}{e}$ dan $- 1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Langkah 4.1.2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{e}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$(0) \ln (0)$

Langkah 4.2.2

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$

Langkah 5