Kalkulus Contoh

$f (x) = 8 + 4 e^{0.5 x}$ , $[- 3, 3]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$8 + 4 e^{0.5 x} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $8 + 4 e^{0.5 x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 e^{0.5 x} = - 8$

Langkah 1.2.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (4 e^{0.5 x}) = \ln (- 8)$

Langkah 1.2.3

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (- 8)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 1.2.4

Tidak ada penyelesaian untuk $4 e^{0.5 x} = - 8$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x - \int_{- 3}^{3} 0 d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} - (0) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $0$ dengan $8 + 4 e^{0.5 x}$ .

$\int_{- 3}^{3} 8 + 4 e^{0.5 x} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 3}^{3} 8 d x + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Langkah 3.4

Terapkan aturan konstanta.

$8 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} 4 e^{0.5 x} d x$

Langkah 3.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 3}^{3} e^{0.5 x} d x$

Langkah 3.6

Biarkan $u = 0.5 x$ . Kemudian $d u = 0.5 d x$ sehingga $\frac{1}{0.5} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Biarkan $u = 0.5 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Diferensialkan $0.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x]$

Langkah 3.6.1.2

Karena $0.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.5 x$ terhadap $x$ adalah $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0.5 \cdot 1$

Langkah 3.6.1.4

Kalikan $0.5$ dengan $1$ .

$0.5$

Langkah 3.6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 0.5 x$ .

$u_{lower} = 0.5 \cdot - 3$

Langkah 3.6.3

Kalikan $0.5$ dengan $- 3$ .

$u_{lower} = - 1.5$

Langkah 3.6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 0.5 x$ .

$u_{upper} = 0.5 \cdot 3$

Langkah 3.6.5

Kalikan $0.5$ dengan $3$ .

$u_{upper} = 1.5$

Langkah 3.6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 1.5$

$u_{upper} = 1.5$

Langkah 3.6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} \frac{1}{0.5} d u$

Langkah 3.7

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{0.5}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 \int_{- 1.5}^{1.5} \frac{e^{u}}{0.5} d u$

Langkah 3.8

Karena $\frac{1}{0.5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{0.5}$ keluar dari integral.

$8 x]_{- 3}^{3} + 4 (\frac{1}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u)$

Langkah 3.9

Gabungkan $\frac{1}{0.5}$ dan $4$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} \int_{- 1.5}^{1.5} e^{u} d u$

Langkah 3.10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$8 x]_{- 3}^{3} + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Langkah 3.11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Evaluasi $8 x$ pada $3$ dan pada $- 3$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} e^{u}]_{- 1.5}^{1.5}$

Langkah 3.11.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $1.5$ dan pada $- 1.5$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Langkah 3.11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$24 - 8 \cdot - 3 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Langkah 3.11.3.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 3$ .

$24 + 24 + \frac{4}{0.5} ((e^{1.5}) - e^{- 1.5})$

Langkah 3.11.3.3

Tambahkan $24$ dan $24$ .

$48 + \frac{4}{0.5} (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Langkah 3.12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Bagilah $4$ dengan $0.5$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - e^{- 1.5})$

Langkah 3.12.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 + 8 (e^{1.5} - \frac{1}{e^{1.5}})$

Langkah 3.12.3

Terapkan sifat distributif.

$48 + 8 e^{1.5} + 8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$

Langkah 3.12.4

Kalikan $8 (- \frac{1}{e^{1.5}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$48 + 8 e^{1.5} - 8 \frac{1}{e^{1.5}}$

Langkah 3.12.4.2

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$48 + 8 e^{1.5} + \frac{- 8}{e^{1.5}}$

Langkah 3.12.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$48 + 8 e^{1.5} - \frac{8}{e^{1.5}}$

Langkah 4