Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{5}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ dan $g (x) = x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 3$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{2 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.5.2

Kurangi $5$ dengan $2$ .

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{\frac{- 3}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{5} {(x + 3)}^{- \frac{3}{5}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.6.2

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan ${(x + 3)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.6.3

Pindahkan ${(x + 3)}^{- \frac{3}{5}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 1.1.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 1.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 1.1.9

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} (1 + 0)$

Langkah 1.1.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} \cdot 1$

Langkah 1.1.10.2

Kalikan $\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 2.3

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2}{5 \sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}}}$

Langkah 4.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{5 \sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$5 \sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Langkah 4.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menghapus akar di sisi kiri persamaan, pangkatkan kedua sisi persamaan ke pangkat $5$ .

${(5 \sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}})}^{5} = 0^{5}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[5]{{(x + 3)}^{3}}$ sebagai ${(x + 3)}^{\frac{3}{5}}$ .

${(5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Sederhanakan ${(5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}$ .

$5^{5} {({(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Langkah 4.3.2.2.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $5$ .

$3125 {({(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Langkah 4.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 3)}^{\frac{3}{5}})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(x + 3)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Langkah 4.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3125 {(x + 3)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Langkah 4.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3125 {(x + 3)}^{3} = 0^{5}$

Langkah 4.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3125 {(x + 3)}^{3} = 0$

Langkah 4.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Bagi setiap suku pada $3125 {(x + 3)}^{3} = 0$ dengan $3125$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.1

Bagilah setiap suku di $3125 {(x + 3)}^{3} = 0$ dengan $3125$ .

$\frac{3125 {(x + 3)}^{3}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Langkah 4.3.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3125$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3125 {(x + 3)}^{3}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Langkah 4.3.3.1.2.1.2

Bagilah ${(x + 3)}^{3}$ dengan $1$ .

${(x + 3)}^{3} = \frac{0}{3125}$

Langkah 4.3.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $3125$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Langkah 4.3.3.2

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 4.3.3.3

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{2}{5 {(x + 3)}^{\frac{3}{5}}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{5}}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ .

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {((- 4) + 3)}^{\frac{3}{5}}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {(- 1)}^{\frac{3}{5}}}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{5}$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}}}$

Langkah 6.2.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}}$

Langkah 6.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}}$

Langkah 6.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 4) = \frac{2}{5 {(- 1)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{5 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{- 5}$

Langkah 6.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 4) = - \frac{2}{5}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 4$ , turunannya adalah $- \frac{2}{5}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 3)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 3)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{2}{5 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{5}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$f' (- 2) = \frac{2}{5 \cdot 1^{\frac{3}{5}}}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- 2) = \frac{2}{5 \cdot 1}$

Langkah 7.2.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f' (- 2) = \frac{2}{5}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $\frac{2}{5}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 3, \infty)$ .

Meningkat pada $(- 3, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 3, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 3)$

Langkah 9