Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \sqrt{3 - e^{2 y}}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$ .

$\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$

Langkah 3.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{3 - e^{2 y}}}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 - e^{2 y}}$ sebagai ${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(3 - e^{2 y})}^{1} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan.

$3 - e^{2 y} = x^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- e^{2 y} = x^{2} - 3$

Langkah 3.4.2

Bagi setiap suku pada $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Bagilah setiap suku di $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- e^{2 y}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{e^{2 y}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2.2

Bagilah $e^{2 y}$ dengan $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$e^{2 y} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.4.2.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.4.2.3.1.3

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + 3$

Langkah 3.4.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- x^{2} + 3)$

Langkah 3.4.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Perluas $\ln (e^{2 y})$ dengan memindahkan $2 y$ ke luar logaritma.

$2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} + 3)$

Langkah 3.4.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} + 3)$

Langkah 3.4.4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 y = \ln (- x^{2} + 3)$

Langkah 3.4.5

Bagi setiap suku pada $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Langkah 3.4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Langkah 3.4.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \frac{\ln (- {(\sqrt{3 - e^{2 x}})}^{2} + 3)}{2}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Tulis kembali ${\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2}$ sebagai $3 - e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 - e^{2 x}}$ sebagai ${(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {({(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4.1.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4.2

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 1 \cdot 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4.4

Kalikan $- - e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + 1 e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.4.4.2

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $- 3 + e^{2 x} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1.1

Tambahkan $- 3$ dan $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(0 + e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.5.1.2

Tambahkan $0$ dan $e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.5.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Langkah 5.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Langkah 5.2.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Langkah 5.2.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{x})$

Langkah 5.2.6

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $x$ keluar dari eksponen.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \ln (e)$

Langkah 5.2.7

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \cdot 1$

Langkah 5.2.8

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{\ln (- x^{2} + 3)}}$

Langkah 5.3.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - (- x^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.5

Terapkan sifat distributif.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 1 \cdot 3}$

Langkah 5.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 3}$

Langkah 5.3.7

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Langkah 5.3.8

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Langkah 5.3.9

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$