Kalkulus Contoh

$2 x - 4 \sin (x)$

Langkah 1

Tulis $2 x - 4 \sin (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 x - 4 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 4 \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 - 4 \cos (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - 4 \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (x))$

Langkah 3.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (x))$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \sin (x))$

Langkah 3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (x)$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $4 \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$2 - 4 \cos (x) = 0$

Langkah 5

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 \cos (x) = - 2$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $- 4 \cos (x) = - 2$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \cos (x) = - 2$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2}{- 4}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Langkah 6.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Langkah 6.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (x) = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Langkah 6.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 7

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 9

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 10

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 10.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 10.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 10.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \sqrt{3}$

Langkah 14

$x = \frac{π}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{π}{3}) - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 15.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 15.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (- 2) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 15.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \cdot (- 2 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 15.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3}$

Langkah 15.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3}$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5 π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Langkah 17.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 17.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.3.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (- \sqrt{3})$

Langkah 17.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sqrt{3}$

Langkah 18

$x = \frac{5 π}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5 π}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (\frac{5 π}{3}) - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Kalikan $2 (\frac{5 π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{2 (5 π)}{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 19.2.1.1.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Langkah 19.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Langkah 19.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 19.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 19.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 19.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 19.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Langkah 19.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{10 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 19.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{10 π}{3} + 2 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{10 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 x - 4 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})$ adalah minimum lokal

$(\frac{5 π}{3}, \frac{10 π}{3} + 2 \sqrt{3})$ adalah maksimum lokal

Langkah 21