Kalkulus Contoh

$e^{x} - 2 x$

Langkah 1

Tulis $e^{x} - 2 x$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{x} - 2 x$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$e^{x} - 2$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = e^{x} + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$f'' (x) = e^{x}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$e^{x} - 2 = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 2$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $e^{x} - 2$ .

$e^{x} - 2$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $e^{x} - 2 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Langkah 6.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$e^{x} = 2$

Langkah 6.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Langkah 6.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Langkah 6.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Langkah 6.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (2)$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \ln (2)$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \ln (2)$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$e^{\ln (2)}$

Langkah 10

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$2$

Langkah 11

$x = \ln (2)$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \ln (2)$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = \ln (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $\ln (2)$ pada pernyataan tersebut.

$f (\ln (2)) = e^{\ln (2)} - 2 \ln (2)$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (2)) = 2 - 2 \ln (2)$

Langkah 12.2.1.2

Sederhanakan $- 2 \ln (2)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (2^{2})$

Langkah 12.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\ln (2)) = 2 - \ln (4)$

Langkah 12.2.2

Jawaban akhirnya adalah $2 - \ln (4)$ .

$y = 2 - \ln (4)$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = e^{x} - 2 x$ .

$(\ln (2), 2 - \ln (4))$ adalah minimum lokal

Langkah 14