Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[1, 4]$ atau tidak, tentukan domain $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Atur penyebut dalam $\frac{x}{x + 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x + 2 = 0$

Langkah 2.1.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq - 2}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq - 2}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[1, 4]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2

Kalikan $x + 2$ dengan $1$ .

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.6

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.6.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.6.4

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(1, 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $(1, 4)$ atau tidak, tentukan domain $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Atur penyebut dalam $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 4.1.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 4.1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq - 2}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq - 2}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $(1, 4)$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $(1, 4)$ karena turunannya kontinu di $(1, 4)$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[1, 4]$ dan terdiferensiasi pada $(1, 4)$ .

$f (x)$ kontinu di $[1, 4]$ dan terdiferensiasi di $(1, 4)$ .

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[1, 4]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f (1) = \frac{1}{3}$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 8

Evaluasi $f (b)$ dari interval $[1, 4]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $(4) + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

Langkah 8.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

Langkah 8.2.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

Langkah 8.2.1.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Langkah 8.2.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Langkah 8.2.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (4) = \frac{2}{3}$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ untuk $x$ . $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

Langkah 9.1.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Langkah 9.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

Langkah 9.1.5

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

Langkah 9.1.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 9.1.7

Kalikan $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.7.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

Langkah 9.1.7.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

Langkah 9.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

${(x + 2)}^{2}, 9$

Langkah 9.2.2

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 9.2.3

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 9.2.4

$9$ memiliki faktor $3$ dan $3$ .

$3 \cdot 3$

Langkah 9.2.5

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9$

Langkah 9.2.6

Faktor untuk $x + 2$ adalah $(x + 2) \cdot (x + 2)$ , yaitu $x + 2$ dikalikan dengan dirinya sendiri $2$ kali.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ terjadi $2$ kali.

Langkah 9.2.7

KPK dari ${(x + 2)}^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor dengan frekuensi terbanyak yang muncul dalam kedua pernyataan tersebut.

${(x + 2)}^{2}$

Langkah 9.2.8

Kelipatan Persekutuan Terkecil $LCM$ dari beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang menjadi faktor.

$9 {(x + 2)}^{2}$

Langkah 9.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ dengan $9 {(x + 2)}^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ dengan $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Langkah 9.3.2.2

Kalikan $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Gabungkan $9$ dan $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Langkah 9.3.2.2.2

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Langkah 9.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Langkah 9.3.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Langkah 9.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1.1

Faktorkan $9$ dari $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

Langkah 9.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Langkah 9.3.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

Langkah 9.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai ${(x + 2)}^{2} = 18$ .

${(x + 2)}^{2} = 18$

Langkah 9.4.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

Langkah 9.4.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{18}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.3.1

Tulis kembali $18$ sebagai $3^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.3.1.1

Faktorkan $9$ dari $18$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

Langkah 9.4.3.1.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Langkah 9.4.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

Langkah 9.4.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

Langkah 9.4.4.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

Langkah 9.4.4.3

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

Langkah 9.4.4.4

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

Langkah 9.4.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

Langkah 10

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = 3 \sqrt{2} - 2$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 4$ .

Terdapat garis tangen pada $x = 3 \sqrt{2} - 2$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 4$

Langkah 11

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 4$ .

Terdapat garis tangen pada $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 4$

Langkah 12