Kalkulus Contoh

$y = \frac{2 x^{3} + 9}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 2 x^{3} + 9$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9] - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.5

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.6

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9)}{x^{2}}$

Langkah 1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Langkah 1.8.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Langkah 1.8.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 9}{x^{2}}$

Langkah 1.8.2.2

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $6 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 9}{x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.5

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.6

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + 0) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.7

Tambahkan $12 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2}) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2 + 2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{x^{4} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.4

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$\frac{12 \cdot x^{4} - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{12 x^{4} - (4 x^{3} - 9) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3} - 9) x}{x^{4}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{12 x^{4} + (- 2 (4 x^{3}) - 2 \cdot - 9) x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3}) x - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1.1

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x \cdot x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x^{1} x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{1 + 3}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{4}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 9$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.2

Kurangi $8 x^{4}$ dengan $12 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.4

Faktorkan $2 x$ dari $4 x^{4} + 18 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1

Faktorkan $2 x$ dari $4 x^{4}$ .

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 18 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.4.2

Faktorkan $2 x$ dari $18 x$ .

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)}{x^{4}}$

Langkah 2.7.4.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)$ .

$\frac{2 x (2 x^{3} + 9)}{x^{4}}$

Langkah 2.7.5

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.5.1

Faktorkan $x$ dari $2 x (2 x^{3} + 9)$ .

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x^{4}}$

Langkah 2.7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.5.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.7.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.7.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{3} + 9)}{x^{3}}$