Kalkulus Contoh

$y = 8 x \sin (x^{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x \sin (x^{2})$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$8 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$8 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$8 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$8 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$8 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$8 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.8.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (x^{2})$ .

$8 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Langkah 1.10

Kalikan $\sin (x^{2})$ dengan $1$ .

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Langkah 1.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Terapkan sifat distributif.

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) + 8 \sin (x^{2})$

Langkah 1.11.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$f' (x) = 16 x^{2} \cos (x^{2}) + 8 \sin (x^{2})$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 x^{2} \cos (x^{2}) + 8 \sin (x^{2})$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16 x^{2} \cos (x^{2})$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$16 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$16 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.3.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$16 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$16 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Pindahkan $x$ .

$16 (x \cdot x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.7.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$16 (x^{1} x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$16 (x^{1 + 2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.2.7.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \sin (x^{2})$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2}$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2}$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (x^{2}) (2 x))$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2}))) + 16 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $16$ .

$- 32 (x^{3} (\sin (x^{2}))) + 16 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$- 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 32 (\cos (x^{2}) (x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Langkah 2.4.2.3

Tambahkan $32 \cos (x^{2}) x$ dan $16 \cos (x^{2}) x$ .

$- 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 48 \cos (x^{2}) x$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = - 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 48 x \cos (x^{2})$