Kalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{\infty} 4 {(\frac{2}{3})}^{k}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{k}$ dan $a_{k + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{2}{3})}^{k + 1}$ dan ${(\frac{2}{3})}^{k}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${(\frac{2}{3})}^{k}$ dari ${(\frac{2}{3})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{k}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{k} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{k} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{\frac{2}{3}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$r = \frac{2}{3}$

Langkah 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ untuk $k$ ke dalam $4 {(\frac{2}{3})}^{k}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan.

$a = 4 (\frac{2}{3})$

Langkah 4.2.2

Kalikan $4 (\frac{2}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{3}$ .

$a = \frac{4 \cdot 2}{3}$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$a = \frac{8}{3}$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Langkah 6.2.3

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Langkah 6.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{8}{3} (1 \cdot 3)$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $3$ dari $1 \cdot 3$ .

$\frac{8}{3} (3 \cdot 1)$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8}{3} (3 \cdot 1)$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$8$