Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

Langkah 2.2.2

Gabungkan.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Langkah 2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $7^{n + 1}$ dan $7^{n}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $7^{n}$ dari $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Langkah 2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Faktorkan $7^{n}$ dari $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ .

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Langkah 2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

Langkah 2.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $4^{n + 3}$ dan $4^{n + 1 + 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Faktorkan $4^{n + 1 + 3}$ dari $7 \cdot 4^{n + 3}$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

Langkah 2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Langkah 2.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Langkah 2.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

Langkah 2.2.4.2.4

Bagilah $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ dengan $1$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

Langkah 2.2.5.2

Terapkan sifat distributif.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

Langkah 2.2.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

Langkah 2.2.6

Gabungkan suku balikan dalam $n + 3 - n - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

Langkah 2.2.6.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

Langkah 2.2.7

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

Langkah 2.2.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 2.2.9

Gabungkan $7$ dan $\frac{1}{4}$ .

$r = \frac{7}{4}$

Langkah 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.