Kalkulus Contoh

$\frac{(y - 1)}{y^{2} - 3 y + 3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = y - 1$ dan $g (y) = y^{2} - 3 y + 3$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) \frac{d}{d y} (y - 1) - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 1)) - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) (1 + \frac{d}{d y} (- 1)) - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 3) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Kalikan $y^{2} - 3 y + 3$ dengan $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} - 3 y + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 3 y$ terhadap $y$ adalah $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.9

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (3))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.10

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.11

Tambahkan $2 y - 3$ dan $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - (y - 1) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 + (- y + 1) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 + (- y + 1) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.2

Perluas $(- y + 1) (2 y - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - y (2 y - 3) + 1 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 1 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.3.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 3 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.3.1.5

Kalikan $2 y$ dengan $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 3 y + 2 y + 1 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.3.1.6

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 3 y + 2 y - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.3.2

Tambahkan $3 y$ dan $2 y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 5 y - 3}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $y^{2} - 3 y + 3 - 2 y^{2} + 5 y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 5 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.2.2

Tambahkan $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 5 y$ dan $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 5 y}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.3

Kurangi $2 y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 5 y}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.4

Tambahkan $- 3 y$ dan $5 y$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Faktorkan $y$ dari $- y^{2} + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y (- y) + y \cdot 2$ .

$f' (y) = \frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - 1 (- 2)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7

Tulis kembali $- (y - 2)$ sebagai $- 1 (y - 2)$ .

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (y) = - \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (y)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - 3 y + 3)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$y (y - 2) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$y = 0$

$y - 2 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $y$ sama dengan $0$ .

$y = 0$

Langkah 2.3.3

Atur $y - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $y - 2$ sama dengan $0$ .

$y - 2 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 2$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $y (y - 2) = 0$ benar.

$y = 0, 2$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3}$ di setiap nilai $y$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $y$ .

$\frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 3}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{- 1}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 3}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{- 1}{0 - 3 \cdot 0 + 3}$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 0 + 3}$

Langkah 4.1.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 3}$

Langkah 4.1.2.2.4

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{- 1}{3}$

Langkah 4.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{3}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $y = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $2$ untuk $y$ .

$\frac{(2) - 1}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

Langkah 4.2.2.2.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4 - 6 + 3}$

Langkah 4.2.2.2.3

Kurangi $6$ dengan $4$ .

$\frac{1}{- 2 + 3}$

Langkah 4.2.2.2.4

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$\frac{1}{1}$

Langkah 4.2.2.3

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$1$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, - \frac{1}{3}), (2, 1)$

Langkah 5