Kalkulus Contoh

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$

Langkah 1

Tulis $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 6 x - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 9 \cdot 1$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 9$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} - 6 x - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$12 x - 6 + 0$

Langkah 2.2.4.2

Tambahkan $12 x - 6$ dan $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x - 6$ .

$12 x - 6$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x - 6 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$12 x - 6 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$12 x = 6$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $12 x = 6$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $12 x = 6$ dengan $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{6}{12}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$x = \frac{6 (1)}{12}$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 3.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{1}{2}$ dalam $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (4)}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 4}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{2}} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{4}) - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.8

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{4} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.10

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 4.1.2.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{9}{2}$

Langkah 4.1.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3}{4} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 4.1.2.2.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 2}{4} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 4.1.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (- 1)}{4} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 4.1.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 4.1.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 4.1.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 4.1.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 4.1.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{9}{2}$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 9}{2}$

Langkah 4.1.2.4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.2.1

Kurangi $9$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 10}{2}$

Langkah 4.1.2.4.2.2

Bagilah $- 10$ dengan $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 5$

Langkah 4.1.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 5$ .

$- 5$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{1}{2}$ dalam $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ adalah $(\frac{1}{2}, - 5)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{1}{2}, - 5)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{1}{2})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.4) = 12 (0.4) - 6$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $12$ dengan $0.4$ .

$f'' (0.4) = 4.8 - 6$

Langkah 6.2.2

Kurangi $6$ dengan $4.8$ .

$f'' (0.4) = - 1.2$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.2$ .

$- 1.2$

Langkah 6.3

Pada $0.4$ , turunan kedua adalah $- 1.2$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{1}{2})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{1}{2})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{1}{2}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.6) = 12 (0.6) - 6$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $12$ dengan $0.6$ .

$f'' (0.6) = 7.2 - 6$

Langkah 7.2.2

Kurangi $6$ dengan $7.2$ .

$f'' (0.6) = 1.2$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.2$ .

$1.2$

Langkah 7.3

Pada $0.6$ , turunan keduanya adalah $1.2$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{1}{2}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{1}{2}, - 5)$ .

$(\frac{1}{2}, - 5)$

Langkah 9