Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.11

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.12.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Perluas $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.2.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.5

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.6

Kalikan $3 x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.7

Kalikan $12 x$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.3.1

Tambahkan $- 3 x^{2}$ dan $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.3.2

Tambahkan $3 x^{4} + 12 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.4

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.4.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.6

Kalikan $6$ dengan $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.7

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.7.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.7.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.1.8

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Kurangi $12 x^{3}$ dengan $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.2.2

Tambahkan $3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ dan $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3.3

Kurangi $2 x^{4}$ dengan $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.4

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.6

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.7

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.9

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.10

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12 + 0) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.11

Tambahkan $4 x^{3} + 12 x + 12$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4.2

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari ${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari ${(x^{2} + 1)}^{2} (4 x^{3} + 12 x + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4.2.2

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4.2.3

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 2 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.9.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 (x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) + (- 4 x^{4} - 4 (6 x^{2}) - 4 (12 x) - 4 \cdot - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12) - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.1

Perluas $(x^{2} + 1) (4 x^{3} + 12 x + 12)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.2.2.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.2.3

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot 12 + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.5

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 \cdot x^{2} + 1 (4 x^{3}) + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.6

Kalikan $4 x^{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 1 (12 x) + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.7

Kalikan $12 x$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 1 \cdot 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.2.8

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x^{3} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.3

Tambahkan $12 x^{3}$ dan $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{4} x - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.4

Kalikan $x^{4}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{1 + 4} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.4.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{2}) x - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 (x \cdot x^{2})) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{1 + 2}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 4 (6 x^{3}) - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.6

Kalikan $6$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x) x - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.7

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.7.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 (x \cdot x)) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.7.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (12 x^{2}) - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.8

Kalikan $12$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} - 4 \cdot (- 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.1.9

Kalikan $- 4$ dengan $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $4 x^{5} + 16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 4 x^{5} - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.2.1

Kurangi $4 x^{5}$ dengan $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 + 0 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.2.2

Tambahkan $16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 24 x^{3} - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.3

Kurangi $24 x^{3}$ dengan $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 12 - 48 x^{2} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.4

Kurangi $48 x^{2}$ dengan $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 12 x + 12 + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.3.5

Tambahkan $12 x$ dan $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.4

Faktorkan $4$ dari $- 8 x^{3} - 36 x^{2} + 24 x + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.4.1

Faktorkan $4$ dari $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) - 36 x^{2} + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.4.2

Faktorkan $4$ dari $- 36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 24 x + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.4.3

Faktorkan $4$ dari $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 12}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.4.4

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.4.5

Faktorkan $4$ dari $4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.4.6

Faktorkan $4$ dari $4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.4.7

Faktorkan $4$ dari $4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) + 4 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - 9 x^{2} + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3}) - (9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{3}) - (9 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 6 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.8

Faktorkan $- 1$ dari $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{3} + 9 x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.10

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.12

Tulis kembali $- (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ sebagai $- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 (- 1 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.10.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 6 x^{2} - 3 x] - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 6 x^{2} - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.6

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 1) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.11

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.12.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.2.12.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 (x^{3} + 6 x^{2} - 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) + (- 2 x^{3} - 2 (6 x^{2}) - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3) - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.1

Perluas $(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 12 x - 3)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.2.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (12 x) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.5

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.6

Kalikan $3 x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 (12 x) + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.7

Kalikan $12 x$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x + 1 \cdot - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 12 x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.3.1

Tambahkan $- 3 x^{2}$ dan $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 0 + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.3.2

Tambahkan $3 x^{4} + 12 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{3} x - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.4

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{1 + 3} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.4.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{2}) x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x \cdot x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 (x^{1} x^{2})) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{1 + 2}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 2 (6 x^{3}) - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.6

Kalikan $6$ dengan $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.7

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.7.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.7.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.1.8

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x - 3 - 2 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.2.1

Kurangi $12 x^{3}$ dengan $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 0 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.2.2

Tambahkan $3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4}$ dan $0$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x - 3 - 2 x^{4} + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.3

Kurangi $2 x^{4}$ dengan $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 12 x - 3 + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x^{4} + 6 x^{2} + 12 x - 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 5.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx - 1.61201265, 0.2245718$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - 1.61201265, 0.2245718$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 1.61201265$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{4 (2 {(- 1.61201265)}^{3} + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Naikkan $- 1.61201265$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{4 (2 \cdot - 4.18895161 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 4.18895161$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 {(- 1.61201265)}^{2} - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9.1.3

Naikkan $- 1.61201265$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 9 \cdot 2.59858481 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9.1.4

Kalikan $9$ dengan $2.59858481$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 - 6 \cdot - 1.61201265 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9.1.5

Kalikan $- 6$ dengan $- 1.61201265$ .

$- \frac{4 (- 8.37790322 + 23.38726331 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9.1.6

Tambahkan $- 8.37790322$ dan $23.38726331$ .

$- \frac{4 (15.00936008 + 9.67207595 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9.1.7

Tambahkan $15.00936008$ dan $9.67207595$ .

$- \frac{4 (24.68143604 - 3)}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9.1.8

Kurangi $3$ dengan $24.68143604$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{({(- 1.61201265)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Naikkan $- 1.61201265$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{(2.59858481 + 1)}^{3}}$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $2.59858481$ dan $1$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{{3.59858481}^{3}}$

Langkah 9.2.3

Naikkan $3.59858481$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{4 \cdot 21.68143604}{46.60099914}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $4$ dengan $21.68143604$ .

$- \frac{86.72574416}{46.60099914}$

Langkah 9.3.2

Bagilah $86.72574416$ dengan $46.60099914$ .

$- 1 \cdot 1.86102756$

Langkah 9.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1.86102756$ .

$- 1.86102756$

Langkah 10

$x = - 1.61201265$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 1.61201265$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = - 1.61201265$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.61201265$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1.61201265) = \frac{{(- 1.61201265)}^{3} + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Naikkan $- 1.61201265$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 {(- 1.61201265)}^{2} - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Langkah 11.2.1.2

Naikkan $- 1.61201265$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 6 \cdot 2.59858481 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $2.59858481$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 - 3 \cdot - 1.61201265}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Langkah 11.2.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $- 1.61201265$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{- 4.18895161 + 15.59150887 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Langkah 11.2.1.5

Tambahkan $- 4.18895161$ dan $15.59150887$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{11.40255726 + 4.83603797}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Langkah 11.2.1.6

Tambahkan $11.40255726$ dan $4.83603797$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{{(- 1.61201265)}^{2} + 1}$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Naikkan $- 1.61201265$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{2.59858481 + 1}$

Langkah 11.2.2.2

Tambahkan $2.59858481$ dan $1$ .

$f (- 1.61201265) = \frac{16.23859524}{3.59858481}$

Langkah 11.2.3

Bagilah $16.23859524$ dengan $3.59858481$ .

$f (- 1.61201265) = 4.51249479$

Langkah 11.2.4

Jawaban akhirnya adalah $4.51249479$ .

$y = 4.51249479$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0.2245718$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{4 (2 {(0.2245718)}^{3} + 9 {(0.2245718)}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({(0.2245718)}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Naikkan $0.2245718$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{4 (2 \cdot 0.01132571 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.2

Kalikan $2$ dengan $0.01132571$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot {0.2245718}^{2} - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.3

Naikkan $0.2245718$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 9 \cdot 0.05043249 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.4

Kalikan $9$ dengan $0.05043249$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 6 \cdot 0.2245718 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.5

Kalikan $- 6$ dengan $0.2245718$ .

$- \frac{4 (0.02265143 + 0.45389244 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.6

Tambahkan $0.02265143$ dan $0.45389244$ .

$- \frac{4 (0.47654387 - 1.3474308 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.7

Kurangi $1.3474308$ dengan $0.47654387$ .

$- \frac{4 (- 0.87088692 - 3)}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.8

Kurangi $3$ dengan $- 0.87088692$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{({0.2245718}^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 13.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Naikkan $0.2245718$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{(0.05043249 + 1)}^{3}}$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $0.05043249$ dan $1$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{{1.05043249}^{3}}$

Langkah 13.2.3

Naikkan $1.05043249$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{4 \cdot - 3.87088692}{1.15905606}$

Langkah 13.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 3.87088692$ .

$- \frac{- 15.48354771}{1.15905606}$

Langkah 13.3.2

Bagilah $- 15.48354771$ dengan $1.15905606$ .

$- - 13.35875651$

Langkah 13.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 13.35875651$ .

$13.35875651$

Langkah 14

$x = 0.2245718$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0.2245718$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = 0.2245718$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.2245718$ pada pernyataan tersebut.

$f (0.2245718) = \frac{{(0.2245718)}^{3} + 6 {(0.2245718)}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{(0.2245718)}^{2} + 1}$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Naikkan $0.2245718$ menjadi pangkat $3$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot {0.2245718}^{2} - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Langkah 15.2.1.2

Naikkan $0.2245718$ menjadi pangkat $2$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 6 \cdot 0.05043249 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Langkah 15.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $0.05043249$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 3 \cdot 0.2245718}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Langkah 15.2.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $0.2245718$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.01132571 + 0.30259496 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Langkah 15.2.1.5

Tambahkan $0.01132571$ dan $0.30259496$ .

$f (0.2245718) = \frac{0.31392067 - 0.6737154}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Langkah 15.2.1.6

Kurangi $0.6737154$ dengan $0.31392067$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{{0.2245718}^{2} + 1}$

Langkah 15.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Naikkan $0.2245718$ menjadi pangkat $2$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{0.05043249 + 1}$

Langkah 15.2.2.2

Tambahkan $0.05043249$ dan $1$ .

$f (0.2245718) = \frac{- 0.35979472}{1.05043249}$

Langkah 15.2.3

Bagilah $- 0.35979472$ dengan $1.05043249$ .

$f (0.2245718) = - 0.34252055$

Langkah 15.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.34252055$ .

$y = - 0.34252055$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$ .

$(- 1.61201265, 4.51249479)$ adalah maksimum lokal

$(0.2245718, - 0.34252055)$ adalah minimum lokal

Langkah 17