Kalkulus Contoh

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Langkah 1

Tulis $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin^{3} (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ dan $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin^{2} (x)$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.5

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.6

Kalikan $\sin^{2} (x)$ dengan $\sin (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.1

Pindahkan $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.6.2

Kalikan $\sin (x)$ dengan $\sin^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.2.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.6.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.8

Tulis kembali $- 1 \sin^{3} (x)$ sebagai $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.9

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.10

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.2.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 3.2.4

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 3.2.5

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.4.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 3.4.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 3.4.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.4.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.4.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.5

Atur $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Ganti $4 \cos^{2} (x)$ dengan $4 (1 - \sin^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 3.5.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 3.5.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Langkah 3.5.2.3.2

Kurangi $2 \sin^{2} (x)$ dengan $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Langkah 3.5.2.4

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Langkah 3.5.2.5

Bagi setiap suku pada $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ dengan $- 6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.1

Bagilah setiap suku di $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Langkah 3.5.2.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Langkah 3.5.2.5.2.1.2

Bagilah $\sin^{2} (x)$ dengan $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Langkah 3.5.2.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $- 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.3.1.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Langkah 3.5.2.5.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.3.1.2.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Langkah 3.5.2.5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Langkah 3.5.2.5.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.2.6

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.5.2.7

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.7.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.7.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.7.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.7.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.7.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.7.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.7.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 3.5.2.7.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.5.2.7.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 3.5.2.7.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.7.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.5.2.7.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.5.2.7.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.2.7.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.7.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.2.7.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.5.2.7.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.8

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.8.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.8.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.8.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.9

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.10

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.10.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 3.5.2.10.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.10.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 3.5.2.10.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{4}$

Langkah 3.5.2.10.4

Sederhanakan $π - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.10.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 3.5.2.10.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.10.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 3.5.2.10.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 3.5.2.10.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.10.4.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Langkah 3.5.2.10.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 3.5.2.10.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.10.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.5.2.10.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.5.2.10.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.5.2.10.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.5.2.10.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.5.2.11

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.11.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 3.5.2.11.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.11.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Langkah 3.5.2.11.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Langkah 3.5.2.11.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.11.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Langkah 3.5.2.11.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{5 π}{4}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 3.5.2.11.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.11.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.5.2.11.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.5.2.11.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.5.2.11.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.5.2.11.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.11.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{4}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Langkah 3.5.2.11.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 3.5.2.11.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.11.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 3.5.2.11.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 3.5.2.11.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.11.6.4.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Langkah 3.5.2.11.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Langkah 3.5.2.11.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 3.5.2.11.7

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.5.2.12

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.5.2.13

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ benar.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.7

Gabungkan $2 π n$ dan $π + 2 π n$ menjadi $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi dalam $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ adalah $(,)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(,)$

Langkah 4.2

Substitusikan $\frac{π}{4}$ dalam $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{3}$ sebagai $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.3.3

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.3.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.3.3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.3.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.6

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2$

Langkah 4.2.2.1.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 2$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.2.2.2.2

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.2.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Langkah 4.2.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 4.2.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Langkah 4.2.2.2.3.2.4

Bagilah $2 \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$2 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.3

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{π}{4}$ dalam $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ adalah $(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Langkah 4.4

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty,)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ .

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Langkah 6.3

Pada $- 0.1$ , turunan kedua adalah $- 0.88059055$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty,)$

Menurun pada $(- \infty,)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(, \frac{π}{4})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.39269908$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ .

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Langkah 7.3

Pada $0.39269908$ , turunan keduanya adalah $2.43538245$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(, \frac{π}{4})$ .

Meningkat pada $(, \frac{π}{4})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π}{4}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.88539816$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Langkah 8.2

Jawaban akhirnya adalah $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ .

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Langkah 8.3

Pada $0.88539816$ , turunan kedua adalah $- 1.38422929$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(\frac{π}{4}, \infty)$

Menurun pada $(\frac{π}{4}, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Langkah 10