Kalkulus Contoh

$\log_{5} (1 + x^{2})$

Langkah 1

Tulis $\log_{5} (1 + x^{2})$ sebagai fungsi.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \log_{5} (x)$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.1.1.2

Turunan dari $\log_{5} (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

Langkah 2.1.2.5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

Langkah 2.1.2.5.2

Gabungkan $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan $\ln (5)$ dengan $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Langkah 2.1.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} \ln (5) + \ln (5)$ .

$2 \frac{(x^{2} \ln (5) + \ln (5)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5) + \ln (5)]}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} \ln (5) + \ln (5)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5) + \ln (5)]}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan $x^{2} \ln (5) + \ln (5)$ dengan $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5) + \ln (5)]}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} \ln (5) + \ln (5)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.3.4

Karena $\ln (5)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} \ln (5)$ terhadap $x$ adalah $\ln (5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (\ln (5) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (\ln (5) (2 x) + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (5)$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (2 \cdot \ln (5) x + \frac{d}{d x} [\ln (5)])}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.3.7

Karena $\ln (5)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\ln (5)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (2 \ln (5) x + 0)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.8.1

Tambahkan $2 \ln (5) x$ dan $0$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - x (2 \ln (5) x)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.3.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 x (\ln (5) x)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 (x^{1} x) \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 (x^{1} x^{1}) \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 x^{1 + 1} \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{x^{2} \ln (5) + \ln (5) - 2 x^{2} \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.8

Kurangi $2 x^{2} \ln (5)$ dengan $x^{2} \ln (5)$ .

$2 \frac{- x^{2} \ln (5) + \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{- x^{2} \ln (5) + \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} \ln (5) + \ln (5))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (- x^{2} \ln (5)) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.2.1.1

Kalikan $2 (- x^{2} \ln (5))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} \ln (5)) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.2.1.1.2

Sederhanakan $- 2 \ln (5)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{x^{2} (- \ln (5^{2})) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.2.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{x^{2} (- \ln (25)) + 2 \ln (5)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.2.1.3

Sederhanakan $2 \ln (5)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{x^{2} (- \ln (25)) + \ln (5^{2})}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.2.1.4

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{x^{2} (- \ln (25)) + \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $x^{2} (- \ln (25)) + \ln (25)$ .

$\frac{- x^{2} \ln (25) + \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2} \ln (25)$ .

$\frac{- (x^{2} \ln (25)) + \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.4

Faktorkan $- 1$ dari $\ln (25)$ .

$\frac{- (x^{2} \ln (25)) - 1 (- \ln (25))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} \ln (25)) - 1 (- \ln (25))$ .

$\frac{- (x^{2} \ln (25) - \ln (25))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.6

Tulis kembali $- (x^{2} \ln (25) - \ln (25))$ sebagai $- 1 (x^{2} \ln (25) - \ln (25))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} \ln (25) - \ln (25))}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.2.10.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{x^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{(x^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x^{2} \ln (25) - \ln (25) = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tambahkan $\ln (25)$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} \ln (25) = \ln (25)$

Langkah 3.3.2

Bagi setiap suku pada $x^{2} \ln (25) = \ln (25)$ dengan $\ln (25)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \ln (25) = \ln (25)$ dengan $\ln (25)$ .

$\frac{x^{2} \ln (25)}{\ln (25)} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (25)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \ln (25)}{\ln (25)} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (25)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{\ln (25)}{\ln (25)}$

Langkah 3.3.2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = 1$

Langkah 3.3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 3.3.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 3.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 3.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 3.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ dalam $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \log_{5} (1 + {(1)}^{2})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \log_{5} (1 + 1)$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1) = \log_{5} (2)$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\log_{5} (2)$ .

$\log_{5} (2)$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1$ dalam $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ adalah $(1, \log_{5} (2))$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1, \log_{5} (2))$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 1$ dalam $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = \log_{5} (1 + {(- 1)}^{2})$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = \log_{5} (1 + 1)$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (- 1) = \log_{5} (2)$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\log_{5} (2)$ .

$\log_{5} (2)$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 1$ dalam $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ adalah $(- 1, \log_{5} (2))$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 1, \log_{5} (2))$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(1, \log_{5} (2)), (- 1, \log_{5} (2))$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.1) = - \frac{{(- 1.1)}^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{1.21 \ln (25) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Sederhanakan $1.21 \ln (25)$ dengan memindahkan $1.21$ ke dalam logaritma.

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (25^{1.21}) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $25$ menjadi pangkat $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (49.14817664) - \ln (25)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 6.2.1.4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (\frac{49.14817664}{25})}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 6.2.1.5

Bagilah $49.14817664$ dengan $25$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{({(- 1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(1.21 \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan $1.21 \ln (5)$ dengan memindahkan $1.21$ ke dalam logaritma.

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (5^{1.21}) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (7.01057605) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 6.2.2.4

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (7.01057605 \cdot 5)}$

Langkah 6.2.2.5

Kalikan $7.01057605$ dengan $5$ .

$f'' (- 1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$ .

$- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Langkah 6.3

Pada $- 1.1$ , turunan kedua adalah $- 0.05343065$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 1)$

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{({(0)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 \ln (25) - \ln (25)}{{(0^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $\ln (25)$ .

$f'' (0) = - \frac{0 - \ln (25)}{{(0^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Kurangi $\ln (25)$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{{(0^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{{(0 \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $\ln (5)$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{{(0 + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $\ln (5)$ .

$f'' (0) = - \frac{- \ln (25)}{\ln^{2} (5)}$

Langkah 7.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (0) = \frac{\ln (25)}{\ln^{2} (5)}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{\ln (25)}{\ln^{2} (5)}$ .

$\frac{\ln (25)}{\ln^{2} (5)}$

Langkah 7.3

Pada $0$ , turunan keduanya adalah $1.24266986$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 1, 1)$ .

Meningkat pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1) = - \frac{{(1.1)}^{2} \ln (25) - \ln (25)}{{({(1.1)}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = - \frac{1.21 \ln (25) - \ln (25)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Sederhanakan $1.21 \ln (25)$ dengan memindahkan $1.21$ ke dalam logaritma.

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (25^{1.21}) - \ln (25)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $25$ menjadi pangkat $1.21$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (49.14817664) - \ln (25)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 8.2.1.4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (\frac{49.14817664}{25})}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 8.2.1.5

Bagilah $49.14817664$ dengan $25$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{({1.1}^{2} \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(1.21 \ln (5) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 8.2.2.2

Sederhanakan $1.21 \ln (5)$ dengan memindahkan $1.21$ ke dalam logaritma.

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (5^{1.21}) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 8.2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $1.21$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{{(\ln (7.01057605) + \ln (5))}^{2}}$

Langkah 8.2.2.4

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (7.01057605 \cdot 5)}$

Langkah 8.2.2.5

Kalikan $7.01057605$ dengan $5$ .

$f'' (1.1) = - \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$ .

$- \frac{\ln (1.96592706)}{\ln^{2} (35.05288028)}$

Langkah 8.3

Pada $1.1$ , turunan kedua adalah $- 0.05343065$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(1, \infty)$

Menurun pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 1, \log_{5} (2)), (1, \log_{5} (2))$ .

$(- 1, \log_{5} (2)), (1, \log_{5} (2))$

Langkah 10