Kalkulus Contoh

$9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$

Langkah 1

Tulis $9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $9$ .

$- 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 18 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x)$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x) \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 18 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$- 18 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 18 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 18 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 18 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.6

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 18 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 18 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 18 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 18 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 18 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- 18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 18 (- \sin (x))$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 18$ .

$- 18 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 18 \sin (x)$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- 18 \cos^{2} (x) - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin (x)$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 18$ .

$f'' (x) = - 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$ .

$- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x)$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 18 \cos^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Langkah 3.2

Ganti $- 18 \cos^{2} (x)$ dengan $- 18 (1 - \sin^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 18 (1 - \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$- 18 \cdot 1 - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Langkah 3.3.2

Kalikan $- 18$ dengan $1$ .

$- 18 - 18 (- \sin^{2} (x)) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 18$ .

$- 18 + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Langkah 3.4

Tambahkan $18 \sin^{2} (x)$ dan $18 \sin^{2} (x)$ .

$- 18 + 36 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) = 0$

Langkah 3.5

Susun ulang polinomial tersebut.

$36 \sin^{2} (x) + 18 \sin (x) - 18 = 0$

Langkah 3.6

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

$36 {(u)}^{2} + 18 (u) - 18 = 0$

Langkah 3.7

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Faktorkan $18$ dari $36 u^{2} + 18 u - 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Faktorkan $18$ dari $36 u^{2}$ .

$18 (2 u^{2}) + 18 u - 18 = 0$

Langkah 3.7.1.2

Faktorkan $18$ dari $18 u$ .

$18 (2 u^{2}) + 18 u - 18 = 0$

Langkah 3.7.1.3

Faktorkan $18$ dari $- 18$ .

$18 (2 u^{2}) + 18 u + 18 (- 1) = 0$

Langkah 3.7.1.4

Faktorkan $18$ dari $18 (2 u^{2}) + 18 u$ .

$18 (2 u^{2} + u) + 18 (- 1) = 0$

Langkah 3.7.1.5

Faktorkan $18$ dari $18 (2 u^{2} + u) + 18 (- 1)$ .

$18 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Langkah 3.7.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$18 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Langkah 3.7.2.1.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$18 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Langkah 3.7.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$18 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Langkah 3.7.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$18 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Langkah 3.7.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$18 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Langkah 3.7.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$18 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Langkah 3.7.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$18 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Langkah 3.8

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Langkah 3.9

Atur $2 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Atur $2 u - 1$ sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Langkah 3.9.2

Selesaikan $2 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u = 1$

Langkah 3.9.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.9.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.9.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Langkah 3.10

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 3.10.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 3.11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $18 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Langkah 3.12

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Langkah 3.13

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Langkah 3.14

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 3.14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Langkah 3.14.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{6}$

Langkah 3.14.4

Sederhanakan $π - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.14.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.14.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 3.14.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.4.3.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 3.14.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Langkah 3.14.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.14.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.14.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.15

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 3.15.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 3.15.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 3.15.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 3.15.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 3.15.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.15.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.15.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.15.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.15.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 3.15.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.15.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.15.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 3.15.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.6.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 3.15.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 3.15.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 3.15.7

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.16

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.17

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{π}{6}$ dalam $f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{2^{2}}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 (\frac{3}{4}) - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.5

Kalikan $9 (\frac{3}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.5.1

Gabungkan $9$ dan $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \cdot 3}{4} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.5.2

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 18 \sin (\frac{π}{6})$

Langkah 4.1.2.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 18$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{1}{2}))$

Langkah 4.1.2.1.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 9$

Langkah 4.1.2.2

Untuk menuliskan $- 9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 4.1.2.3

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 - 9 \cdot 4}{4}$

Langkah 4.1.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.1

Kalikan $- 9$ dengan $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 - 36}{4}$

Langkah 4.1.2.5.2

Kurangi $36$ dengan $27$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 9}{4}$

Langkah 4.1.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{9}{4}$

Langkah 4.1.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{π}{6}$ dalam $f (x) = 9 \cos^{2} (x) - 18 \sin (x)$ adalah $(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π}{6})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.42359877$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.42359877) = - 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $- 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$ .

$- 18 \cos^{2} (0.42359877) + 18 \sin^{2} (0.42359877) + 18 \sin (0.42359877)$

Langkah 6.3

Pada $0.42359877$ , turunan kedua adalah $- 4.51875903$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{π}{6})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{π}{6})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π}{6}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.62359877$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.62359877) = - 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $- 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$ .

$- 18 \cos^{2} (0.62359877) + 18 \sin^{2} (0.62359877) + 18 \sin (0.62359877)$

Langkah 7.3

Pada $0.62359877$ , turunan keduanya adalah $4.7876356$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{π}{6}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, - \frac{9}{4})$

Langkah 9