Kalkulus Contoh

$20 e^{x} - e^{2 x}$

Langkah 1

Tulis $20 e^{x} - e^{2 x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $20 e^{x} - e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$20 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$20 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$20 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$20 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$20 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Langkah 2.1.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$20 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Langkah 2.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 20 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $20 e^{x} - 2 e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$20 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$20 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$20 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 2.2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$20 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Langkah 2.2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$20 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Langkah 2.2.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 20 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $20 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$20 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $20 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$20 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai ${(e^{x})}^{2}$ .

$20 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Langkah 3.2.2

Biarkan $u = e^{x}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $e^{x}$ .

$20 u - 4 u^{2} = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $4 u$ dari $20 u - 4 u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Faktorkan $4 u$ dari $20 u$ .

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

Langkah 3.2.3.2

Faktorkan $4 u$ dari $- 4 u^{2}$ .

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

Langkah 3.2.3.3

Faktorkan $4 u$ dari $4 u (5) + 4 u (- u)$ .

$4 u (5 - u) = 0$

Langkah 3.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x}$ .

$4 e^{x} (5 - e^{x}) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$5 - e^{x} = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Atur $5 - e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $5 - e^{x}$ sama dengan $0$ .

$5 - e^{x} = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $5 - e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- e^{x} = - 5$

Langkah 3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- e^{x} = - 5$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- e^{x} = - 5$ dengan $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2.2.2

Bagilah $e^{x}$ dengan $1$ .

$e^{x} = \frac{- 5}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.3.1

Bagilah $- 5$ dengan $- 1$ .

$e^{x} = 5$

Langkah 3.5.2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Langkah 3.5.2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Langkah 3.5.2.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Langkah 3.5.2.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (5)$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 e^{x} (5 - e^{x}) = 0$ benar.

$x = \ln (5)$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\ln (5)$ dalam $f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\ln (5)$ pada pernyataan tersebut.

$f (\ln (5)) = 20 e^{\ln (5)} - e^{2 (\ln (5))}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (5)) = 20 \cdot 5 - e^{2 (\ln (5))}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $20$ dengan $5$ .

$f (\ln (5)) = 100 - e^{2 (\ln (5))}$

Langkah 4.1.2.1.3

Sederhanakan $2 (\ln (5))$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (\ln (5)) = 100 - e^{\ln (5^{2})}$

Langkah 4.1.2.1.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (5)) = 100 - 5^{2}$

Langkah 4.1.2.1.5

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\ln (5)) = 100 - 1 \cdot 25$

Langkah 4.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$f (\ln (5)) = 100 - 25$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $25$ dengan $100$ .

$f (\ln (5)) = 75$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $75$ .

$75$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\ln (5)$ dalam $f (x) = 20 e^{x} - e^{2 x}$ adalah $(\ln (5), 75)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\ln (5), 75)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \ln (5)) \cup (\ln (5), \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \ln (5))$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.50943791$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.50943791) = 20 e^{1.50943791} - 4 e^{2 (1.50943791)}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $1.50943791$ .

$f'' (1.50943791) = 20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$ .

$20 e^{1.50943791} - 4 e^{3.01887582}$

Langkah 6.3

Pada $1.50943791$ , turunan keduanya adalah $8.61066649$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, \ln (5))$ .

Meningkat pada $(- \infty, \ln (5))$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\ln (5), \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.70943791$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.70943791) = 20 e^{1.70943791} - 4 e^{2 (1.70943791)}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $1.70943791$ .

$f'' (1.70943791) = 20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$ .

$20 e^{1.70943791} - 4 e^{3.41887582}$

Langkah 7.3

Pada $1.70943791$ , turunan kedua adalah $- 11.623184$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(\ln (5), \infty)$

Menurun pada $(\ln (5), \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\ln (5), 75)$ .

$(\ln (5), 75)$

Langkah 9