Kalkulus Contoh

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $64 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $128$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{128}{x}$ terhadap $x$ adalah $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.1.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $128$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 1.1.1.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

Langkah 1.1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Langkah 1.1.1.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.2.1

Gabungkan $- 128$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Langkah 1.1.1.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Langkah 1.1.1.5.2.3

Tambahkan $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ dan $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Karena $128$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $128 x$ terhadap $x$ adalah $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.2.2.3

Kalikan $128$ dengan $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Karena $- 128$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{128}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Langkah 1.1.2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$128 - 128 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$128 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Langkah 1.1.2.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Langkah 1.1.2.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$128 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Langkah 1.1.2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Langkah 1.1.2.3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$128 - 128 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Langkah 1.1.2.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$128 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Langkah 1.1.2.3.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Langkah 1.1.2.3.10

Kalikan $- 2$ dengan $- 128$ .

$128 + 256 x^{- 3}$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 256 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Gabungkan $256$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{256}{x^{3}}$

Langkah 1.1.2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 128$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{256}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$

Langkah 1.2.2

Kurangkan $128$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$

Langkah 1.2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{3}, 1$

Langkah 1.2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{3}$

Langkah 1.2.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ dengan $x^{3}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$256 = - 128 x^{3}$

Langkah 1.2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 128 x^{3} = 256$ .

$- 128 x^{3} = 256$

Langkah 1.2.5.2

Kurangkan $256$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Langkah 1.2.5.3

Faktorkan $- 128$ dari $- 128 x^{3} - 256$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.3.1

Faktorkan $- 128$ dari $- 128 x^{3}$ .

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Langkah 1.2.5.3.2

Faktorkan $- 128$ dari $- 256$ .

$- 128 x^{3} - 128 \cdot 2 = 0$

Langkah 1.2.5.3.3

Faktorkan $- 128$ dari $- 128 (x^{3}) - 128 (2)$ .

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$

Langkah 1.2.5.4

Bagi setiap suku pada $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ dengan $- 128$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.1

Bagilah setiap suku di $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ dengan $- 128$ .

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Langkah 1.2.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 128$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Langkah 1.2.5.4.2.1.2

Bagilah $x^{3} + 2$ dengan $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 128}$

Langkah 1.2.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 128$ .

$x^{3} + 2 = 0$

Langkah 1.2.5.5

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} = - 2$

Langkah 1.2.5.6

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

Langkah 1.2.5.7

Sederhanakan $\sqrt[3]{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.7.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.7.1.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Langkah 1.2.5.7.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.7.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

Langkah 1.2.5.7.3

Tulis kembali $- 1 \sqrt[3]{2}$ sebagai $- \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \sqrt[3]{2}$

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur penyebut dalam $\frac{128}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 2.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2}) \cup (- \sqrt[3]{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 4) = \frac{256}{{(- 4)}^{3}} + 128$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{- 64} + 128$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $256$ dengan $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 4 + 128$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $128$ .

$f'' (- 4) = 124$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $124$ .

$124$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ karena $f'' (- 4)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1) = \frac{256}{{(- 1)}^{3}} + 128$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{256}{- 1} + 128$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $256$ dengan $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 256 + 128$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 256$ dan $128$ .

$f'' (- 1) = - 128$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 128$ .

$- 128$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ karena $f'' (- 1)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2) = \frac{256}{{(2)}^{3}} + 128$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (2) = \frac{256}{8} + 128$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $256$ dengan $8$ .

$f'' (2) = 32 + 128$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $32$ dan $128$ .

$f'' (2) = 160$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $160$ .

$160$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(0, \infty)$ karena $f'' (2)$ positif.

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 8