Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x} \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} \ln (x))$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Gabungkan $x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.4.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.5

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.5.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.5.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.5.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.1.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.1.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.1.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.1.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.1.10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Langkah 1.1.13

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.1.14

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.3

Kalikan kedua ruas dengan $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Sederhanakan $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.4.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Sederhanakan $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ke dalam pembilangnya.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.4.2.1.1.2

Faktorkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Langkah 2.4.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

Langkah 2.4.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) = - 1 \cdot 2$

Langkah 2.4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\ln (x) = - 2$

Langkah 2.5

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali $\ln (x) = - 2$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x$

Langkah 2.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- 2}$ .

$x = e^{- 2}$

Langkah 2.7.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.1.2

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Langkah 3.1.3

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Langkah 3.1.4

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{1}{\sqrt{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{x} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x = 0^{2}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.4

Atur penyebut dalam $\frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 \sqrt{x} = 0$

Langkah 3.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Sederhanakan ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 3.5.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.5.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 3.5.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Langkah 3.5.2.2.1.4

Sederhanakan.

$4 x = 0^{2}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 x = 0$

Langkah 3.5.3

Bagi setiap suku pada $4 x = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Bagilah setiap suku di $4 x = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 3.5.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Langkah 3.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x = 0$

Langkah 3.6

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 3.7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x < 0$

Langkah 3.8

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 4

Evaluasi $\sqrt{x} \ln (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{1}{e^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{1}{e^{2}}$ untuk $x$ .

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Langkah 4.1.2.2

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Langkah 4.1.2.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{e^{2}}} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Langkah 4.1.2.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

Langkah 4.1.2.5

Pindahkan $e^{2}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- 2})$

Langkah 4.1.2.6

Perluas $\ln (e^{- 2})$ dengan memindahkan $- 2$ ke luar logaritma.

$\frac{1}{e} (- 2 \ln (e))$

Langkah 4.1.2.7

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\frac{1}{e} (- 2 \cdot 1)$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot - 2$

Langkah 4.1.2.9

Gabungkan $\frac{1}{e}$ dan $- 2$ .

$\frac{- 2}{e}$

Langkah 4.1.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{e}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\sqrt{0} \ln (0)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$\sqrt{0} \ln (0)$

Langkah 4.2.2.2

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{1}{e^{2}}, - \frac{2}{e})$

Langkah 5