Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} \ln (3 x) + 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.7

Gabungkan $\frac{1}{3 x}$ dan $3$ .

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.9

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.10.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.10.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.10.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.2.10.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 1.1.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Tambahkan $x + \ln (3 x) (2 x)$ dan $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Langkah 1.1.4.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x \ln (3 x) + x$ .

$2 x \ln (3 x) + x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 x \ln (3 x) + x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x \ln (3 x) = - x$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 x \ln (3 x) = - x$ dengan $2 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x \ln (3 x) = - x$ dengan $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.2.2.2

Bagilah $\ln (3 x)$ dengan $1$ .

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

Langkah 2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 2.6.2

Bagi setiap suku pada $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Langkah 2.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Langkah 2.6.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Langkah 2.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.3.1

Pindahkan $e^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\ln (3 x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 x \leq 0$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $3 x \leq 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x \leq 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{0}{3}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$x \leq 0$

Langkah 3.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 4

Evaluasi $x^{2} \ln (3 x) + 6$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ untuk $x$ .

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Langkah 4.1.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Langkah 4.1.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Langkah 4.1.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Langkah 4.1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Langkah 4.1.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Langkah 4.1.2.3.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Langkah 4.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Langkah 4.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Langkah 4.1.2.5

Pindahkan $e^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

Langkah 4.1.2.6

Perluas $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $- \frac{1}{2}$ ke luar logaritma.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

Langkah 4.1.2.7

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.9.1

Kalikan $\frac{1}{9 e}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

Langkah 4.1.2.9.2

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$- \frac{1}{18 e} + 6$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 \ln (3 (0)) + 6$

Langkah 4.2.2.1.2

Tulis kembali $\ln (3 (0))$ sebagai $\ln (3) + \ln (0)$ .

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Langkah 4.2.2.1.3

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Langkah 4.2.2.2

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

Langkah 5