Kalkulus Contoh

$x^{2} \ln (x)$

Langkah 1

Tulis $x^{2} \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Langkah 2.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x \ln (x) = - x$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $2 x \ln (x) = - x$ dengan $2 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x \ln (x) = - x$ dengan $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 3.3.2.2.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 3.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 3.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Langkah 3.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 3.6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 5.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Langkah 7

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.30326533$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Langkah 8.2.2.2

Sederhanakan $0.60653067 \ln (0.30326533)$ dengan memindahkan $0.60653067$ ke dalam logaritma.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

Langkah 8.2.2.3

Naikkan $0.30326533$ menjadi pangkat $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

Langkah 8.2.3

Tambahkan $\ln (0.48496413)$ dan $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

Langkah 8.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.42041501$ .

$- 0.42041501$

Langkah 8.3

Pada $x = 0.30326533$ , turunannya adalah $- 0.42041501$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

Menurun pada $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Langkah 10

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.60653067$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Langkah 10.2.2.2

Sederhanakan $3.21306134 \ln (1.60653067)$ dengan memindahkan $3.21306134$ ke dalam logaritma.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

Langkah 10.2.2.3

Naikkan $1.60653067$ menjadi pangkat $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

Langkah 10.2.3

Tambahkan $\ln (4.58705612)$ dan $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

Langkah 10.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3.12976912$ .

$3.12976912$

Langkah 10.3

Pada $x = 1.60653067$ , turunannya adalah $3.12976912$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 11

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Menurun pada: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 12