Kalkulus Contoh

$\frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 4.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 4.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 4.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 4.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 4.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ sehingga $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Langkah 5.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 5.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 5.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 5.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Langkah 5.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Langkah 5.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 5.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.8.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.1.8.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int 2 \cos (u) d u$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \cos (u) d u$

Langkah 7

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$2 (\sin (u) + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

$2 \sin (u) + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 10

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) + C$