Kalkulus Contoh

$12 \cos^{3} (2 x)$

Langkah 1

Tulis $12 \cos^{3} (2 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 12 \cos^{3} (2 x) d x$

Langkah 4

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$12 \int \cos^{3} (2 x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$12 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6

Gabungkan $\cos^{3} (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$12 (\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $12$ .

$\frac{12}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 8.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 8.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6}{1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 8.2.2.4

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$6 \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9

Faktorkan $\cos^{2} (u_{1})$ .

$6 \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 10

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cos^{2} (u_{1})$ sebagai $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$6 \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Langkah 11.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$6 \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$6 (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$6 (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 14

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$6 (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Langkah 15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$6 (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Langkah 16

Sederhanakan.

$6 (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Langkah 17

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (u_{1})$ .

$6 (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Langkah 17.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gabungkan $\sin^{3} (2 x)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Langkah 18.2

Terapkan sifat distributif.

$6 \sin (2 x) + 6 (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Langkah 18.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$6 \sin (2 x) + 6 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Langkah 18.3.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$6 \sin (2 x) + 3 (2) \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Langkah 18.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \sin (2 x) + 3 \cdot 2 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Langkah 18.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$6 \sin (2 x) + 2 (- \sin^{3} (2 x)) + C$

Langkah 18.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$

Langkah 19

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$