Kalkulus Contoh

$\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Langkah 1

Tulis $\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = 2 \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ positif.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.1.2

Faktorkan $4$ dari $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.1.3

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.1.6

Tulis kembali $4 \tan^{2} (t)$ sebagai ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 \sec (t)$ dari $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Langkah 6

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Langkah 7

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Langkah 8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

Langkah 10

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

Langkah 11

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Langkah 12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Langkah 14

Karena turunan dari $\tan (t)$ adalah $\sec^{2} (t)$ , maka integral dari $\sec^{2} (t)$ adalah $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $arcsec (\frac{x}{2})$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Oleh karena itu, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ adalah $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

Langkah 17.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Langkah 17.1.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \frac{x}{2}$ dan $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Langkah 17.1.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Langkah 17.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Langkah 17.1.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

Langkah 17.1.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

Langkah 17.1.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

Langkah 17.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

Langkah 17.1.10

Kalikan $\frac{x + 2}{2}$ dengan $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

Langkah 17.1.11

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

Langkah 17.1.12

Tulis kembali $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.12.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

Langkah 17.1.12.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

Langkah 17.1.12.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

Langkah 17.1.13

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

Langkah 17.1.14

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Langkah 17.2

Untuk menuliskan $- arcsec (\frac{x}{2})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Langkah 17.3

Gabungkan $- arcsec (\frac{x}{2})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Langkah 17.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Langkah 17.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Langkah 17.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Langkah 17.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Langkah 19

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ .

$F (x) =$ $- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$