Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4

Susun kembali $1$ dan $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Bagilah $x^{2}$ dengan $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Langkah 5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Langkah 5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Langkah 5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Langkah 5.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 9.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x) + C$ .

$x + C - (\arctan (x) + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

$x - \arctan (x) + C$

Langkah 12

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x - \arctan (x) + C$