Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x^{4})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Langkah 1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Langkah 1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x^{4})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{4}} x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{4}{x^{4}}$ dan $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.6

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{3 x^{2}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Langkah 5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{4}{x}$ dengan $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{x (3 x^{2})}$

Langkah 5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 (x^{1} x^{2})}$

Langkah 5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{1 + 2}}$

Langkah 5.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{3 x^{3}}$

Langkah 6

Pindahkan suku $\frac{4}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{3}}$ mendekati $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot 0$

Langkah 8

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $0$ .

$0$